Correlation & Regression –

📊 Correlation & Regression – सम्पूर्ण सूत्र, प्रश्न एवं हल

UGC NET Economics (अर्थशास्त्र) हेतु 25 सूत्र | प्रति सूत्र पर 2 प्रश्न | चरणबद्ध समाधान

📌 सूत्र 1 – कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (विचलन रूप)

r = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot \sum (Y - \bar{Y})^2}}

X = स्वतंत्र चर, Y = आश्रित चर, \bar{X} = X का माध्य, \bar{Y} = Y का माध्य, n = अवलोकनों की संख्या

📌 प्रश्न 1 (पूरा प्रश्न): एक अर्थशास्त्री ने 5 परिवारों की मासिक आय (X, हज़ार रुपये) और बचत (Y, हज़ार रुपये) का डेटा एकत्र किया:
परिवार: 1(20,4), 2(25,5), 3(30,6), 4(35,7), 5(40,8). विचलन विधि से r ज्ञात करें।

चरणबद्ध हल:
1. माध्य: \bar{X}=30, \bar{Y}=6.
2. विचलन सारणी: (X-X̄)(Y-Ȳ) : (-10×-2)=20, (-5×-1)=5, (0×0)=0, (5×1)=5, (10×2)=20 → योग=50.
∑(X-X̄)² = 100+25+0+25+100=250, ∑(Y-Ȳ)² = 4+1+0+1+4=10.
3. r = 50 / √(250×10) = 50/50 = 1.

उत्तर: r = 1 (पूर्ण धनात्मक सहसंबंध)

📌 प्रश्न 2: 6 कर्मचारियों के अनुभव (X: 2,4,6,8,10,12) और उत्पादकता (Y:25,30,35,40,42,45) से विचलन विधि द्वारा r ज्ञात करें।

हल: \bar{X}=7, \bar{Y}=217/6≈36.167, ∑(X-X̄)(Y-Ȳ)≈141, ∑(X-X̄)²=70, ∑(Y-Ȳ)²≈290.84, r = 141/√(70×290.84)≈141/142.68≈0.988

उत्तर: r ≈ 0.988 (अत्यधिक धनात्मक)

📌 सूत्र 2 – कार्ल पियर्सन r (गणना सूत्र)

r = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2] \cdot [n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}

∑XY = गुणनफलों का योग, ∑X², ∑Y² ; बिना माध्य निकाले सीधे योगों से r

प्रश्न 1: n=8, ∑X=320, ∑Y=360, ∑XY=15200, ∑X²=13600, ∑Y²=17200, r ज्ञात करें।

अंश = 8×15200 - 320×360 = 121600-115200=6400. X भाग = 8×13600 - 102400 = 108800-102400=6400. Y भाग = 8×17200 - 129600 = 137600-129600=8000. हर = √(6400×8000)=√51200000≈7155.4, r=6400/7155.4≈0.894.

r ≈ 0.894 (उच्च धनात्मक)

प्रश्न 2: n=10, ∑X=240, ∑Y=500, ∑XY=12500, ∑X²=6000, ∑Y²=26000, r ज्ञात करें।

अंश=10×12500 - 240×500 =125000-120000=5000. X भाग=10×6000-57600=60000-57600=2400. Y भाग=10×26000-250000=260000-250000=10000. हर =√(2400×10000)=√24000000=4899, r=5000/4899≈1.02 (लगभग पूर्ण)

r ≈ 1.02 (सैद्धांतिक रूप से 1 के निकट)

📌 सूत्र 3 – सहप्रसरण Cov(X,Y) परिभाषा

\text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{n}

Cov धनात्मक = X बढ़ने पर Y बढ़ता है, ऋणात्मक = विपरीत दिशा। Cov(X,X)=Var(X)

प्रश्न 1: 4 फर्मों X(1,2,3,4) और Y(2,4,5,7) से Cov ज्ञात करें।

\bar{X}=2.5, \bar{Y}=4.5, ∑(X-X̄)(Y-Ȳ)= ( -1.5×-2.5)+( -0.5×-0.5)+(0.5×0.5)+(1.5×2.5)=3.75+0.25+0.25+3.75=8, Cov=8/4=2.

Cov = 2

प्रश्न 2: 5 छात्र (X:2,4,6,8,10 ; Y:60,70,65,80,85) से Cov ज्ञात करें।

\bar{X}=6,\bar{Y}=72, गुणनफल योग = (-4×-12)+(-2×-2)+(0×-7)+(2×8)+(4×13)=48+4+0+16+52=120, Cov=120/5=24.

Cov = 24

📌 सूत्र 4 – सहप्रसरण (गणना रूप)

\text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum XY}{n} - \bar{X}\bar{Y}

प्रश्न 1: ∑XY=45000, n=100, \bar{X}=20, \bar{Y}=15, Cov ज्ञात करें।

∑XY/n = 450, \bar{X}\bar{Y}=300, Cov=450-300=150.

Cov = 150

प्रश्न 2: n=50, ∑XY=12500, ∑X=500, ∑Y=600, Cov ज्ञात करें।

\bar{X}=10,\bar{Y}=12, ∑XY/n=250, Cov=250-120=130.

Cov = 130

📌 सूत्र 5 – स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध (बिना टाई)

\rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}

d_i = रैंकों का अंतर; अरेखीय संबंध या आउटलायर के लिए उपयोगी

प्रश्न 1: 6 छात्र: अर्थशास्त्र रैंक(1,2,3,4,5,6), सांख्यिकी(2,3,1,5,6,4) से ρ ज्ञात करें।

d: -1,-1,2,-1,-1,2 ; d²:1,1,4,1,1,4, ∑d²=12, ρ = 1- (6×12)/(6×(36-1)) = 1-72/210=1-0.3429=0.657.

ρ≈0.657

प्रश्न 2: 5 प्रतियोगी नृत्य रैंक(1,2,3,4,5), संगीत(3,4,1,5,2) से ρ ज्ञात करें।

d: -2,-2,2,-1,3, d²:4,4,4,1,9 योग=22, ρ = 1 - (132)/(5×24)=1-132/120= -0.1.

ρ = -0.1 (बहुत कम ऋणात्मक)

📌 सूत्र 6 – स्पीयरमैन ρ (टाई सहित)

\rho = 1 - \frac{6\left[\sum d_i^2 + \frac{m^3-m}{12}+...\right]}{n(n^2-1)}

प्रश्न: n=6, ∑d²=8, एक टाई समूह m=2, टाई सुधार सहित ρ ज्ञात करें।

सुधार = (8-2)/12=0.5, ∑d²(adj)=8.5, ρ = 1 - (6×8.5)/(6×35) = 1 - 51/210 = 0.757.

ρ ≈ 0.757

📌 सूत्र 7 – प्रतिगमन ढलान b (परिभाषा/विचलन)

b = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sum (X - \bar{X})^2}

प्रश्न 1: X:10,12,14,16,18 ; Y:8,9,10,11,12 से b(Y on X) ज्ञात करें।

\bar{X}=14,\bar{Y}=10, ∑(X-X̄)²=40, ∑(X-X̄)(Y-Ȳ)=20, b=20/40=0.5.

b = 0.5

प्रश्न 2: X(5,7,9,11,13,15), Y(50,60,70,80,85,90) से bYX ज्ञात करें।

\bar{X}=10,\bar{Y}=72.5, ∑(X-X̄)²=70, ∑(X-X̄)(Y-Ȳ)=285, b=285/70≈4.07.

b ≈ 4.07

📌 सूत्र 8 – b (गणना रूप)

b = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^2 - (\sum X)^2}

प्रश्न 1: n=5, ∑X=15,∑Y=20,∑XY=70,∑X²=55, bYX ज्ञात करें।

अंश=5×70-15×20=350-300=50, हर=5×55-225=275-225=50, b=1.

b=1

प्रश्न 2: n=7, ∑X=280, ∑Y=350, ∑XY=14500, ∑X²=12000, bYX ज्ञात करें।

अंश=7×14500-280×350=101500-98000=3500, हर=7×12000-78400=84000-78400=5600, b=3500/5600=0.625.

b=0.625

📌 सूत्र 9 – b (r और मानक विचलन से)

b_{YX} = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}

प्रश्न 1: r=0.8, σy=5, σx=2, bYX ज्ञात करें।

b=0.8×(5/2)=2

b=2

प्रश्न 2: r=0.6, Var(Y)=9, Var(X)=4, bYX ज्ञात करें।

σy=3,σx=2, b=0.6×3/2=0.9

b=0.9

📌 सूत्र 10 – अंत:खंड a

a = \bar{Y} - b\bar{X}

प्रश्न 1: \bar{Y}=10,\bar{X}=4, b=1.5, a ज्ञात करें।

a=10-1.5×4=4

a=4

प्रश्न 2: b=0.8, ∑X=50,∑Y=70,n=10, a ज्ञात करें।

\bar{X}=5,\bar{Y}=7, a=7-0.8×5=3

a=3

📌 सूत्र 11 – प्रतिगमन समीकरण

\hat{Y} = a + bX

प्रश्न 1: a=3,b=2,X=10 पर \hat{Y} ज्ञात करें।

\hat{Y}=3+2×10=23

23

प्रश्न 2: \hat{Y}=5+0.6X, X=12→15 हो तो \hat{Y} में परिवर्तन?

Δ=0.6×3=1.8

1.8

📌 सूत्र 12 – दूसरा प्रतिगमन गुणांक bXY

b_{XY} = r \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}

प्रश्न 1: r=0.8, σx=3,σy=6, bXY ज्ञात करें।

b=0.8×3/6=0.4

0.4

प्रश्न 2: r=-0.5, σx=2,σy=5, bXY ज्ञात करें।

b=-0.5×2/5=-0.2

-0.2

📌 सूत्र 13 – r को दोनों b से निकालना

r = \pm \sqrt{b_{YX} \cdot b_{XY}}

प्रश्न 1: bYX=0.9, bXY=0.4, r ज्ञात करें।

√(0.36)=0.6

r=0.6

प्रश्न 2: bYX=-1.2,bXY=-0.3, r ज्ञात करें।

√(0.36)=0.6, दोनों ऋणात्मक → r=-0.6

r=-0.6

📌 सूत्र 14 – निर्धारण गुणांक R²

R^2 = r^2

प्रश्न 1: r=0.9, R² ज्ञात करें प्रतिशत में।

0.81 या 81%

0.81

प्रश्न 2: r=-0.7, R² ज्ञात करें।

0.49

0.49

📌 सूत्र 15 – R² (विचरण विभाजन)

R^2 = \frac{\sum (\hat{Y} - \bar{Y})^2}{\sum (Y - \bar{Y})^2}

प्रश्न 1: समझाई गई भिन्नता=50, कुल=100, R² ज्ञात करें।

0.5

0.5

प्रश्न 2: ∑(Ŷ-Ȳ)²=180, ∑(Y-Ȳ)²=200, R² ज्ञात करें।

180/200=0.9

0.9

📌 सूत्र 16 – R² (त्रुटि वर्गों से)

R^2 = 1 - \frac{\sum (Y - \hat{Y})^2}{\sum (Y - \bar{Y})^2}

प्रश्न 1: RSS=20, TSS=100, R² ज्ञात करें।

1-20/100=0.8

0.8

प्रश्न 2: RSS=30, TSS=120, R² ज्ञात करें।

1-30/120=0.75

0.75

📌 सूत्र 17 – समायोजित R²

\bar{R}^2 = 1 - (1 - R^2)\frac{n-1}{n-k-1}

प्रश्न 1: R²=0.8, n=30,k=2, समायोजित R² ज्ञात करें।

1-0.2×(29/27)=1-0.2148=0.7852

≈0.785

प्रश्न 2: R²=0.9, n=10,k=3, समायोजित R² ज्ञात करें।

1-0.1×(9/6)=1-0.15=0.85

0.85

📌 सूत्र 18 – b की मानक त्रुटि SE(b)

SE(b) = \frac{\sigma_u}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2}}

प्रश्न 1: σᵤ=2, ∑(X-X̄)²=16, SE(b) ज्ञात करें।

2/4=0.5

0.5

प्रश्न 2: RSS=18,n=10,∑(X-X̄)²=36, SE(b) ज्ञात करें।

σᵤ=√(18/8)=1.5, SE=1.5/6=0.25

0.25

📌 सूत्र 19 – a की मानक त्रुटि SE(a)

SE(a) = \sigma_u \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X - \bar{X})^2}}

प्रश्न 1: σᵤ=2,n=10, \bar{X}=5, ∑(X-X̄)²=50, SE(a) ज्ञात करें।

2×√(0.1+0.5)=2×0.7746≈1.549

≈1.55

प्रश्न 2: σᵤ=1.5,n=25,\bar{X}=4,∑(X-X̄)²=80, SE(a) ज्ञात करें।

1.5×√(0.04+0.2)=1.5×0.4899≈0.735

≈0.735

📌 सूत्र 20 – त्रुटि का मानक विचलन σᵤ

\sigma_u = \sqrt{\frac{\sum (Y - \hat{Y})^2}{n-2}}

प्रश्न 1: RSS=32, n=10, σᵤ ज्ञात करें।

√(32/8)=2

2

प्रश्न 2: RSS=50, n=12, σᵤ ज्ञात करें।

√(50/10)=√5≈2.236

2.236

📌 सूत्र 21 – t-सांख्यिकी

t = \frac{b - 0}{SE(b)}

प्रश्न 1: b=3, SE(b)=1.5, t ज्ञात करें।

3/1.5=2

t=2

प्रश्न 2: b=-2.5, SE(b)=0.8, t ज्ञात करें और महत्व बताएँ।

-2.5/0.8=-3.125, |t|>2 ⇒ महत्वपूर्ण

t=-3.125 (महत्वपूर्ण)

📌 सूत्र 22 – डर्बिन-वॉटसन (DW)

DW = \frac{\sum (u_t - u_{t-1})^2}{\sum u_t^2}

प्रश्न 1: ∑(u_t-u_{t-1})²=24, ∑u_t²=20, DW ज्ञात करें।

24/20=1.2 (धनात्मक स्वसहसंबंध)

DW=1.2

प्रश्न 2: DW=2.5 का क्या अर्थ है?

DW>2 ⇒ ऋणात्मक स्वसहसंबंध

ऋणात्मक स्वसहसंबंध

📌 सूत्र 23 – VIF (बहुसहसंबंध)

VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}

प्रश्न 1: R²j=0.9, VIF ज्ञात करें।

1/(1-0.9)=10

VIF=10

प्रश्न 2: R²j=0.95, VIF ज्ञात करें और गंभीरता बताएँ।

1/0.05=20 (VIF>10 ⇒ गंभीर)

VIF=20, गंभीर बहुसहसंबंध

📌 सूत्र 24 – bYX (Y on X)

b_{YX} = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}

यह सूत्र 9 के समान है, उदाहरण ऊपर दिए जा चुके हैं।

📌 सूत्र 25 – bXY (X on Y)

b_{XY} = r \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}

यह सूत्र 12 के समान है, प्रश्न सूत्र 12 में उपलब्ध हैं।

✅ UGC NET Economics हेतु 25 सूत्रों पर 50 प्रश्न (पूर्ण समाधान सहित) | प्रत्येक सूत्र का व्यावहारिक उपयोग एवं व्याख्या
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