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समाकलन के सभी सूत्र - प्रश्न एवं हल सहित 📚 समाकलन (Integration) के सभी 48 सूत्र प्रत्येक सूत्र के लिए सरल एवं कठिन प्रश्न + पूर्ण हल प्रारूप: सूत्र → प्रश्न 1 (सरल) → हल 1 → प्रश्न 2 (कठिन) → हल 2 1. \(\int dx = x + C\) \(\int dx = x + C\) प्रश्न 1 (सरल): \(\int 5 \, dx\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\int 5 \, dx = 5\int dx = 5x + C\) प्रश्न 2 (कठिन): \(\int (3x^2 + 2x - 7) \, dx\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 7 dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^2}{2} - 7x + C = x^3 + x^2 - 7x + C\) 2. \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\) \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\) प्रश्न 1 (सरल): \(\int x^5 \, dx\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\int x^5 \, dx = \frac{x^{6}}{6} + C\) प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x^{3}} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (ध्यान दें: \(x^{-3}\) के रूप में) हल: \(\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac...

अवकलन सूत्र - सभी उदाहरण सहित अवकलन (Differentiation) के सभी सूत्र प्रश्न एवं पूर्ण हल सहित प्रत्येक सूत्र के लिए: सूत्र → प्रश्न → हल (दो-दो उदाहरण) 1. \(\frac{d}{dx}(c) = 0\) \(\frac{d}{dx}(c) = 0\) प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(8)\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\frac{d}{dx}(8) = 0\) (अचर का अवकलन शून्य होता है) प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \ln 5 - \frac{\pi}{2} + \sqrt{7} \right)\) ज्ञात कीजिए। हल: सभी पद अचर हैं: \(\ln 5, \frac{\pi}{2}, \sqrt{7}\)। \(\frac{d}{dx}(\ln 5) = 0\), \(\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), \(\frac{d}{dx}(\sqrt{7}) = 0\)। अतः उत्तर \(0 - 0 + 0 = 0\) 2. \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\) प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(x^6)\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\frac{d}{dx}(x^6) = 6x^{5}\) प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( x^{\sqrt{3}} \right)\) ज्ञात कीजिए। हल: \(\frac{d}{dx}\left( x^{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} \cdot x...

UGC NET सांख्यिकी: 25 सूत्र - संपूर्ण संग्रह (LaTeX संस्करण) 📐 सांख्यिकी के 25 आवश्यक सूत्र बेसिक से गहराई तक – हर चिह्न, हर शब्द, और परीक्षा में कैसे पूछा जाएगा (UGC NET) 📍 समूह 1: सहसंबंध (Correlation) सूत्र 1 – कार्ल पियर्सन का r (परिभाषा / विचलन रूप) \[ r = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot \sum (Y - \bar{Y})^2}} \] 🧠 यह क्या है: यह दो चरों के बीच रैखिक संबंध की ताकत और दिशा का माप है। -1 से +1 के बीच। 🔣 चिह्नों का मतलब: X,Y = चर; \(\bar{X},\bar{Y}\) = माध्य; \((X-\bar{X})\) = माध्य से विचलन; \(\sum\) = सभी n अवलोकनों का योग ⚡ कब उपयोग: सिद्धांत समझने के लिए, या जब deviations पहले से दिए हों 📖 परीक्षा में: "r = Cov/(σxσy) से क्या तात्पर्य है?" – ऐसा प्रश्न ➕ अतिरिक्त: यह सूत्र इकाई-रहित है – इसलिए kg, रुपये, मीटर सब एक साथ त...

UGC NET सांख्यिकी: 25 सूत्रों पर 50 प्रश्न (पूर्ण हल सहित) 📐 25 सूत्रों पर 50 प्रश्न (प्रति सूत्र 2 प्रश्न) पूर्ण हल + परीक्षा उपयोगी दृष्टिकोण – UGC NET / शोध पद्धति 📍 समूह 1: सहसंबंध (Correlation) सूत्र 1 – कार्ल पियर्सन का r (विचलन रूप) \[ r = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot \sum (Y - \bar{Y})^2}} \] प्रश्न 1 (आसान) – विचलनों से r Q: एक अध्ययन में X और Y के विचलन दिए हैं: \((X-\bar{X}) = [-2, -1, 0, 1, 2]\), \((Y-\bar{Y}) = [-3, -1, 0, 2, 2]\). r ज्ञात करें। हल: \((X-\bar{X})(Y-\bar{Y})\): \((-2)(-3)=6,\; (-1)(-1)=1,\; 0,\; 1×2=2,\; 2×2=4\) → योग = 13. \(\sum (X-\bar{X})^2 = 4+1+0+1+4=10\), \(\sum (Y-\bar{Y})^2 = 9+1+0+4+4=18\) \( r = \frac{13}{\sqrt{10×18}} = \frac{13}{\sqrt{180}} \approx \frac{13}{13.416} \approx 0.969 \) उत्तर: r ≈ 0.97 (उच्च धनात्मक सहसंबंध) प्...