Integration
📚 समाकलन (Integration) के सभी 48 सूत्र
प्रत्येक सूत्र के लिए सरल एवं कठिन प्रश्न + पूर्ण हल
प्रारूप: सूत्र → प्रश्न 1 (सरल) → हल 1 → प्रश्न 2 (कठिन) → हल 2
1. \(\int dx = x + C\)
\(\int dx = x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int 5 \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int 5 \, dx = 5\int dx = 5x + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int (3x^2 + 2x - 7) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 7 dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^2}{2} - 7x + C = x^3 + x^2 - 7x + C\)
2. \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int x^5 \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int x^5 \, dx = \frac{x^{6}}{6} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x^{3}} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (ध्यान दें: \(x^{-3}\) के रूप में)
हल: \(\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^{2}} + C\)
3. \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{2}{x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(2\int \frac{1}{x} dx = 2\ln|x| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{3x^2 + 2x}{x^3 + x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: पहले सरल करें: \(\frac{3x^2 + 2x}{x^2(x+1)} = \frac{3x+2}{x(x+1)}\). आंशिक भिन्न से: \(\frac{3x+2}{x(x+1)} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1}\). अब समाकलन: \(\int \frac{2}{x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx = 2\ln|x| + \ln|x+1| + C\)
4. \(\int e^x \, dx = e^x + C\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int e^{3x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = 3x\), \(du = 3dx\) ⇒ \(\int e^u \frac{du}{3} = \frac{1}{3}e^{3x} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int e^{\sin x} \cos x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \sin x\), \(du = \cos x dx\) ⇒ \(\int e^u du = e^u + C = e^{\sin x} + C\)
5. \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int 2^x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{2^x}{\ln 2} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int 5^{3x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = 3x\), \(du = 3dx\) ⇒ \(\int 5^u \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5^u}{\ln 5} + C = \frac{5^{3x}}{3\ln 5} + C\)
6. \(\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx\)
\(\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int 4x^3 \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(4\int x^3 dx = 4\cdot\frac{x^4}{4} + C = x^4 + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int 7\sin(2x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(7\int \sin(2x) dx\). माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(7\int \sin u \frac{du}{2} = \frac{7}{2}(-\cos u) + C = -\frac{7}{2}\cos(2x) + C\)
7. \(\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
\(\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int (x^2 + x) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int (\sec^2 x - \csc x \cot x) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int \sec^2 x dx - \int \csc x \cot x dx = \tan x - (-\csc x) + C = \tan x + \csc x + C\)
8. \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
\(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sin(4x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=4x\), \(du=4dx\) ⇒ \(\int \sin u \frac{du}{4} = -\frac{1}{4}\cos u + C = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int x \sin(x^2) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = x^2\), \(du = 2x dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\int \sin u \, du = -\frac{1}{2}\cos u + C = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C\)
9. \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
\(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \cos(2x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\sin(2x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \cos^3 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\cos^3 x = \cos x (1-\sin^2 x)\). माना \(u=\sin x\), \(du=\cos x dx\) ⇒ \(\int (1-u^2) du = u - \frac{u^3}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C\)
10. \(\int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C\)
\(\int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \tan(5x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=5x\), \(du=5dx\) ⇒ \(\frac{1}{5}\ln|\sec u| + C = \frac{1}{5}\ln|\sec(5x)| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \tan x \sec^2 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \tan x\), \(du = \sec^2 x dx\) ⇒ \(\int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\tan^2 x}{2} + C\)
11. \(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)
\(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \cot(3x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=3x\), \(du=3dx\) ⇒ \(\frac{1}{3}\ln|\sin u| + C = \frac{1}{3}\ln|\sin(3x)| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \cot x \ln(\sin x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \ln(\sin x)\), \(du = \frac{\cos x}{\sin x} dx = \cot x dx\) ⇒ \(\int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{[\ln(\sin x)]^2}{2} + C\)
12. \(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
\(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sec(2x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\ln|\sec u + \tan u| + C = \frac{1}{2}\ln|\sec(2x) + \tan(2x)| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sec^3 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: खण्डशः समाकलन से: \(\frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C\) (यह एक मानक सूत्र है)
13. \(\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\)
\(\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \csc(4x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=4x\), \(du=4dx\) ⇒ \(\frac{1}{4}\ln|\csc u - \cot u| + C = \frac{1}{4}\ln|\csc(4x) - \cot(4x)| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \csc x \cot x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: यह सीधा सूत्र 17 है: \(-\csc x + C\). (प्रतिस्थापन से: माना \(u=\csc x\), \(du=-\csc x\cot x dx\))
14. \(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\)
\(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sec^2(3x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=3x\), \(du=3dx\) ⇒ \(\frac{1}{3}\tan u + C = \frac{1}{3}\tan(3x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \ln x\), \(du = \frac{1}{x}dx\) ⇒ \(\int \sec^2 u du = \tan u + C = \tan(\ln x) + C\)
15. \(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\)
\(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \csc^2(2x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}(-\cot u) + C = -\frac{1}{2}\cot(2x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \csc^2 x \cot x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \cot x\), \(du = -\csc^2 x dx\) ⇒ \(-\int u du = -\frac{u^2}{2} + C = -\frac{\cot^2 x}{2} + C\)
16. \(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\)
\(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sec(4x)\tan(4x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=4x\), \(du=4dx\) ⇒ \(\frac{1}{4}\sec u + C = \frac{1}{4}\sec(4x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sec^2 x \tan^3 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \tan x\), \(du = \sec^2 x dx\) ⇒ \(\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\tan^4 x}{4} + C\)
17. \(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\)
\(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \csc(5x)\cot(5x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u=5x\), \(du=5dx\) ⇒ \(\frac{1}{5}(-\csc u) + C = -\frac{1}{5}\csc(5x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \csc^3 x \cot x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \csc x\), \(du = -\csc x \cot x dx\). यहाँ \(\csc^3 x \cot x = \csc^2 x (\csc x \cot x)\). माना \(u=\csc x\) ⇒ \(\int u^2 (-du) = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\csc^3 x}{3} + C\)
18. \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} dx\). माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\sin^{-1}(2x) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = x^2\), \(du = 2x dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\sin^{-1}(x^2) + C\)
19. \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (यहाँ \(a=3\))
हल: \(\sin^{-1}\frac{x}{3} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3x^2}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1 - \frac{3x^2}{2}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1 - (\sqrt{\frac{3}{2}}x)^2}} dx\). माना \(u = \sqrt{\frac{3}{2}}x\), \(du = \sqrt{\frac{3}{2}}dx\) ⇒ \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right) + C\)
20. \(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1} x + C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1} x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{4+x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int \frac{1}{2^2 + x^2} dx = \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x}{2} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: वर्ग पूरा करें: \(x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4\). \(\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 2^2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C\)
21. \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C\)
\(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{9 + x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (\(a=3\))
हल: \(\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x}{3} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{4x^2 + 1} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(4x^2+1 = (2x)^2+1^2\). माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1} = \frac{1}{2}\tan^{-1}(2x) + C\)
22. \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \sec^{-1} |x| + C\)
\(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \sec^{-1} |x| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: सीधा सूत्र: \(\sec^{-1} |x| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: पहले \(x^2-4 = 4\left(\frac{x^2}{4}-1\right)\). लेकिन सीधा: \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-2^2}} dx\). मानक सूत्र \(\frac{1}{a}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| + C\) से: \(\frac{1}{2}\sec^{-1}\left|\frac{x}{2}\right| + C\)
23. \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \frac{1}{a} \sec^{-1} \left| \frac{x}{a} \right| + C\)
\(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \frac{1}{a} \sec^{-1} \left| \frac{x}{a} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 16}} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (\(a=4\))
हल: \(\frac{1}{4}\sec^{-1}\left|\frac{x}{4}\right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(4x^2-9 = 4\left(x^2 - \frac{9}{4}\right) = 4\left(x^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)\). \(\int \frac{1}{x \cdot 2\sqrt{x^2 - (3/2)^2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3/2} \sec^{-1}\left|\frac{x}{3/2}\right| + C = \frac{1}{3}\sec^{-1}\left|\frac{2x}{3}\right| + C\)
24. \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 25}} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (\(a=5\))
हल: \(\ln\left| x + \sqrt{x^2+25} \right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 9}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sqrt{4x^2+9} = 2\sqrt{x^2 + \frac{9}{4}} = 2\sqrt{x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}\). \(\int \frac{1}{2\sqrt{x^2+(3/2)^2}} dx = \frac{1}{2}\ln\left| x + \sqrt{x^2 + \frac{9}{4}} \right| + C = \frac{1}{2}\ln\left| x + \frac{\sqrt{4x^2+9}}{2} \right| + C\)
25. \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 16}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\ln\left| x + \sqrt{x^2-16} \right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{\sqrt{9x^2 - 4}} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sqrt{9x^2-4} = 3\sqrt{x^2 - \frac{4}{9}} = 3\sqrt{x^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2}\). \(\int \frac{1}{3\sqrt{x^2-(2/3)^2}} dx = \frac{1}{3}\ln\left| x + \sqrt{x^2 - \frac{4}{9}} \right| + C = \frac{1}{3}\ln\left| x + \frac{\sqrt{9x^2-4}}{3} \right| + C\)
26. \(\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C\)
\(\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sqrt{x^2 + 4} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4} + \frac{4}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+4}| + C = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+4} + 2\ln|x+\sqrt{x^2+4}| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sqrt{9x^2 + 1} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sqrt{9x^2+1} = 3\sqrt{x^2 + \frac{1}{9}}\). माना \(u=3x\), \(du=3dx\) ⇒ \(\int \sqrt{u^2+1} \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\left[ \frac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \frac{1}{2}\ln|u+\sqrt{u^2+1}| \right] + C = \frac{3x}{6}\sqrt{9x^2+1} + \frac{1}{6}\ln|3x+\sqrt{9x^2+1}| + C\)
27. \(\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C\)
\(\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sqrt{x^2 - 9} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sqrt{4x^2 - 25} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sqrt{4x^2-25} = 2\sqrt{x^2 - \frac{25}{4}}\). माना \(u=2x\), \(du=2dx\) ⇒ \(\int \sqrt{u^2-25} \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\left[ \frac{u}{2}\sqrt{u^2-25} - \frac{25}{2}\ln|u+\sqrt{u^2-25}| \right] + C = \frac{2x}{4}\sqrt{4x^2-25} - \frac{25}{4}\ln|2x+\sqrt{4x^2-25}| + C\)
28. \(\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C\)
\(\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \sqrt{16 - x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4} + C = \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\frac{x}{4} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \sqrt{9 - 4x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sqrt{9-4x^2} = 2\sqrt{\frac{9}{4} - x^2} = 2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - x^2}\). \(\int 2\sqrt{(3/2)^2 - x^2} dx = 2\left[ \frac{x}{2}\sqrt{\frac{9}{4}-x^2} + \frac{9/4}{2}\sin^{-1}\frac{x}{3/2} \right] + C = x\sqrt{\frac{9}{4}-x^2} + \frac{9}{4}\sin^{-1}\frac{2x}{3} + C\)
29. \(\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C\)
\(\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \ln(3x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\ln(3x) = \ln3 + \ln x\) ⇒ \(\int (\ln3 + \ln x) dx = x\ln3 + (x\ln x - x) + C = x\ln(3x) - x + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int x^2 \ln x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: खण्डशः समाकलन: \(u=\ln x\), \(dv=x^2 dx\) ⇒ \(du=\frac{1}{x}dx\), \(v=\frac{x^3}{3}\) \(\int x^2\ln x dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C\)
30. \(\int \log_a x \, dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C\)
\(\int \log_a x \, dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \log_2 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र से: \(x\log_2 x - \frac{x}{\ln 2} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \log_{10} (5x) \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\log_{10}(5x) = \log_{10}5 + \log_{10}x\). \(\int \log_{10}5 dx + \int \log_{10}x dx = x\log_{10}5 + \left(x\log_{10}x - \frac{x}{\ln 10}\right) + C = x\log_{10}(5x) - \frac{x}{\ln 10} + C\)
31. \(\int x e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C\)
\(\int x e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int x e^{2x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र में \(a=2\) ⇒ \(\frac{e^{2x}}{4}(2x-1) + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int x^2 e^{3x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: खण्डशः समाकलन से: \(u=x^2, dv=e^{3x}dx\) ⇒ \(du=2xdx, v=\frac{e^{3x}}{3}\) \(\frac{x^2 e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3} \cdot 2x dx = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3}\int x e^{3x}dx\). अब \(\int x e^{3x}dx = \frac{e^{3x}}{9}(3x-1)\). अतः अंतिम: \(\frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{e^{3x}}{9}(3x-1) + C = \frac{e^{3x}}{27}(9x^2 - 6x + 2) + C\)
32. \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) (खण्डशः समाकलन)
\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int x \cos x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u=x, dv=\cos x dx\) ⇒ \(du=dx, v=\sin x\) \(x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x + \cos x + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int e^x \sin x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(I = \int e^x \sin x dx\). खण्डशः: \(u=\sin x, dv=e^x dx\) ⇒ \(du=\cos x dx, v=e^x\) \(I = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx\). फिर से खण्डशः \(\int e^x \cos x dx\): \(u=\cos x, dv=e^x dx\) ⇒ \(du=-\sin x dx, v=e^x\) ⇒ \(e^x \cos x + \int e^x \sin x dx = e^x \cos x + I\). अतः \(I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)\) ⇒ \(2I = e^x(\sin x - \cos x)\) ⇒ \(I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C\)
33. \(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du, \quad u = g(x)\) (प्रतिस्थापन नियम)
\(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du, \quad u = g(x)\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int 2x e^{x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = x^2\), \(du=2x dx\) ⇒ \(\int e^u du = e^{x^2} + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2 x} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\). माना \(u = \cos^2 x\), \(du = -2\cos x \sin x dx = -\sin(2x) dx\). अतः \(\int \frac{\sin(2x)}{1+u} \cdot \frac{-du}{\sin(2x)} = -\int \frac{du}{1+u} = -\ln|1+u| + C = -\ln(1+\cos^2 x) + C\)
34. \(\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \, dx = \frac{1}{a-b} \ln\left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C, \quad a \neq b\)
\(\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \, dx = \frac{1}{a-b} \ln\left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C, \quad a \neq b\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{(x-2)(x-3)} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(a=2, b=3\) ⇒ \(\frac{1}{2-3}\ln\left|\frac{x-2}{x-3}\right| + C = -\ln\left|\frac{x-2}{x-3}\right| + C = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\). सूत्र से: \(\ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C\)
35. \(\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C\)
\(\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (\(a=2\))
हल: \(\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{9x^2 - 25} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(9x^2-25 = 9\left(x^2 - \frac{25}{9}\right) = 9\left(x^2 - \left(\frac{5}{3}\right)^2\right)\). \(\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^2 - (5/3)^2} dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2\cdot\frac{5}{3}} \ln\left|\frac{x - 5/3}{x + 5/3}\right| + C = \frac{1}{30}\ln\left|\frac{3x-5}{3x+5}\right| + C\)
36. \(\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C\)
\(\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int \frac{1}{9 - x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए। (\(a=3\))
हल: \(\frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right| + C\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int \frac{1}{4 - 9x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(4-9x^2 = 4\left(1 - \frac{9x^2}{4}\right) = 4\left(1 - \left(\frac{3x}{2}\right)^2\right)\). माना \(u = \frac{3x}{2}\), \(du = \frac{3}{2}dx\) ⇒ \(\int \frac{1}{4(1-u^2)} \cdot \frac{2}{3} du = \frac{1}{6}\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C = \frac{1}{12}\ln\left|\frac{2+3x}{2-3x}\right| + C\)
37. \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\), जहाँ \(F'(x) = f(x)\)
\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\), जहाँ \(F'(x) = f(x)\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^2 x^3 \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(F(x) = \frac{x^4}{4}\) ⇒ \(F(2)-F(0) = \frac{16}{4} - 0 = 4\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\). \(F(x) = -\frac{1}{4}\cos 2x\). \(F(\pi/2)-F(0) = \left[-\frac{1}{4}\cos\pi\right] - \left[-\frac{1}{4}\cos 0\right] = \left[-\frac{1}{4}(-1)\right] - \left[-\frac{1}{4}(1)\right] = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
38. \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt\)
\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt\)
प्रश्न 1 (सरल): सत्यापित करें कि \(\int_0^1 x^2 dx = \int_0^1 t^2 dt\).
हल: बायाँ = \(\frac{1}{3}\), दायाँ = \(\frac{1}{3}\), बराबर।
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: यह अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है। \(x=2\sin\theta\) से भी हल हो सकता है। लेकिन सीधा: \(\frac{1}{4}\pi(2^2) = \pi\) (यह त्रिज्या 2 के वृत्त के चौथाई भाग का क्षेत्रफल है = \(\pi\))
39. \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
\(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_1^2 x dx = 1.5\) तो \(\int_2^1 x dx = ?\)
हल: \(\int_2^1 x dx = -1.5\)
प्रश्न 2 (कठिन): सिद्ध कीजिए \(\int_1^3 (x-2)^3 dx = -\int_3^1 (x-2)^3 dx\).
हल: बायाँ: \(\int_{-1}^{1} u^3 du = 0\). दायाँ: \(-\int_{1}^{-1} u^3 du = -[-0]? \) वास्तव में बायाँ 0 है, दायाँ भी 0 होगा। अतः सत्य है।
40. \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\)
\(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^2 x dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 x dx\) सत्यापित करें।
हल: बायाँ = 2. दायाँ = 0.5 + 1.5 = 2. सत्य।
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^{\pi} |\cos x| dx = \int_0^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\int_0^{\pi/2} \cos x dx = 1\), \(\int_{\pi/2}^{\pi} -\cos x dx = -[\sin x]_{\pi/2}^{\pi} = -[0-1] = 1\). योग = 2
41. \(\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx\)
\(\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^1 x dx = \int_0^1 (1-x) dx\) सत्यापित करें।
हल: दोनों = 0.5
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: I = \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx\). गुणधर्म से I = \(\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} dx\). दोनों जोड़ें: \(2I = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}\) ⇒ \(I = \frac{\pi}{4}\)
42. \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx\) (यदि \(f\) सम फलन है)
\(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx\) (यदि \(f\) सम फलन है)
प्रश्न 1 (सरल): \(f(x)=x^2\) के लिए \(\int_{-1}^1 x^2 dx = 2\int_0^1 x^2 dx\) सत्यापित करें।
हल: बायाँ = \(2\int_0^1 x^2 dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). सत्य।
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_{-2}^2 (x^4 + 3x^2) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: सम फलन ⇒ \(2\int_0^2 (x^4+3x^2)dx = 2\left[\frac{x^5}{5} + x^3\right]_0^2 = 2\left[\frac{32}{5}+8\right] = 2\left[\frac{32+40}{5}\right] = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}\)
43. \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0\) (यदि \(f\) विषम फलन है)
\(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0\) (यदि \(f\) विषम फलन है)
प्रश्न 1 (सरल): \(f(x)=x^3\) के लिए \(\int_{-1}^1 x^3 dx = 0\) सत्यापित करें।
हल: मान 0 आएगा।
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin^3 x \cos^2 x \, dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: यह विषम फलन है? \(\sin^3 x\) विषम है, \(\cos^2 x\) सम है, गुणनफल विषम। अतः समाकलन 0 है।
44. \(\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\) (वॉलिस सूत्र)
\(\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\)
प्रश्न 1 (सरल): \(n=2\) के लिए \(\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र से: \(\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(1.5)}{2\Gamma(2)} = \frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{2\cdot 1} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}\). प्रत्यक्ष: \(\int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos2x}{2}dx = \frac{\pi}{4}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^{\pi/2} \sin^5 x dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: वॉलिस: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{8}{15}\) (वॉलिस नियम: \(\int_0^{\pi/2} \sin^n dx = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\))
45. \(\int_0^\infty e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}, \quad a > 0\)
\(\int_0^\infty e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}, \quad a > 0\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^\infty e^{-3x} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{3}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^\infty x e^{-ax} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: खण्डशः: \(u=x, dv=e^{-ax}dx\) ⇒ \(\left[-\frac{xe^{-ax}}{a}\right]_0^\infty + \frac{1}{a}\int_0^\infty e^{-ax}dx = 0 + \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^2}\)
46. \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\) (गाउसियन समाकलन)
\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_{-\infty}^\infty e^{-2x^2} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: माना \(u = \sqrt{2}x\), \(du = \sqrt{2}dx\) ⇒ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: यह गाउसियन का द्वितीय आघूर्ण है। मान = \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
47. \(\int_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}, \quad a > 0, n \in \mathbb{N}\)
\(\int_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}, \quad a > 0, n \in \mathbb{N}\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^\infty x^3 e^{-2x} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{3!}{2^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^\infty x^4 e^{-x} dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{4!}{1^5} = 24\)
48. \(\int_0^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = 0\) यदि \(m \neq n\), और \(\frac{\pi}{2}\) यदि \(m = n\)
\(\int_0^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = 0\) यदि \(m \neq n\), और \(\frac{\pi}{2}\) यदि \(m = n\)
प्रश्न 1 (सरल): \(\int_0^{\pi} \sin(2x)\sin(3x) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(m \neq n\) ⇒ 0
प्रश्न 2 (कठिन): \(\int_0^{\pi} \sin^2(4x) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sin^2(4x) = \sin(4x)\sin(4x)\) ⇒ \(m=n=4\) ⇒ \(\frac{\pi}{2}\)
✅ नोट: उपरोक्त सभी 48 समाकलन सूत्रों के लिए प्रत्येक सूत्र के बाद दो-दो प्रश्न (एक सरल, एक कठिन) एवं उनके पूर्ण हल दिए गए हैं। कोई भी सूत्र, प्रश्न या हल नहीं हटाया गया है।
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