Regression · Econometric Diagnostics

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Correlation · Regression · Econometric Diagnostics

📌 भाग 1: सहसंबंध एवं प्रतिगमन की मूल अवधारणाएँ

प्रश्न 1: In the classical linear regression model, Xi and Ui are assumed to be:

(A) correlated
(B) not correlated
(C) dependent
(D) functionally related

✅ उत्तर: (B) not correlated

📖 व्याख्या: शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल (CLRM) के महत्वपूर्ण अभिग्रह्यताओं में से एक यह है कि व्याख्यात्मक चर (Xi) और त्रुटि पद (Ui) सहसंबद्ध नहीं होते हैं। यदि ये सहसंबद्ध होते हैं, तो OLS प्राचल अनुमान पक्षपातपूर्ण एवं असंगत हो जाते हैं। [citation:7]

प्रश्न 2: Which of the following statements is false?

1. When value of correlation coefficient is one, the two regression lines coincide
2. The regression coefficients are independent of the change of origin and of scale
3. The sign of the regression coefficients are always the same
4. The square of the coefficient of correlation is called coefficient of determination

✅ उत्तर: 2

📖 व्याख्या: प्रतिगमन गुणांक मूल बदलाव (change of origin) से स्वतंत्र होते हैं, लेकिन पैमाने बदलाव (change of scale) से स्वतंत्र नहीं होते। अतः कथन 2 असत्य है। शेष कथन सही हैं: r = ±1 पर दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं, दोनों गुणांकों का चिह्न समान होता है, और r² निर्धारण गुणांक कहलाता है। [citation:5]

प्रश्न 3: If two regression coefficients are -0.8 and -0.2, then the value of coefficient of correlation is:

(A) +0.40
(B) -0.40
(C) +0.16
(D) -0.16

✅ उत्तर: (B) -0.40

📖 व्याख्या: दो प्रतिगमन गुणांकों (byx और bxy) का ज्यामितीय माध्य सहसंबंध गुणांक के बराबर होता है।
r = √(byx × bxy) = √((-0.8) × (-0.2)) = √0.16 = ±0.40
चूँकि दोनों गुणांक ऋणात्मक हैं, r का चिह्न भी ऋणात्मक होगा। अतः r = -0.40 [citation:9]

प्रश्न 4: Given the two regression lines: Y = 4 + 0.4X and X = -2 + 0.9Y. Then coefficient of correlation between X and Y will be:

(A) 0.36
(B) 0.6
(C) 0.9
(D) 0.4

✅ उत्तर: (B) 0.6

📖 व्याख्या: प्रतिगमन गुणांक: byx = 0.4, bxy = 0.9
r² = byx × bxy = 0.4 × 0.9 = 0.36
r = √0.36 = 0.6 (धनात्मक, क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं) [citation:10]

प्रश्न 5: In a two-variable regression, correlation coefficient between Y and X is 0.7. What is the percentage of variations in Y explained by X?

(A) 49%
(B) 70%
(C) 30%
(D) 51%

✅ उत्तर: (A) 49%

📖 व्याख्या: निर्धारण गुणांक (R²) = r² = (0.7)² = 0.49 = 49%। इसका अर्थ है कि Y में होने वाले कुल परिवर्तन का 49% X द्वारा समझाया जाता है। शेष 51% अन्य कारकों के कारण होता है। [citation:1]

🧮 भाग 2: आंकिक प्रश्न (Numericals) – प्रतिगमन गुणांक, सहसंबंध एवं प्रसरण

प्रश्न 6: If u = 2x + 5 and v = -3y - 6 and regression coefficient of y on x is 2.4, what is the regression coefficient of v on u?

(A) 3.6
(B) -3.6
(C) 2.4
(D) -2.4

✅ उत्तर: (B) -3.6

📖 व्याख्या: प्रतिगमन गुणांक पैमाने बदलाव से प्रभावित होता है।
u = 2x + 5 ⇒ x = (u - 5)/2
v = -3y - 6 ⇒ y = (v + 6)/(-3)
bvu = byx × (dx/du) / (dy/dv) का सूत्र प्रयुक्त होता है। सरल विधि: bvu = byx × (du/dx) / (dv/dy)⁻¹ की जटिलता से बचते हुए, गुणनखंडों का अनुपात लेने पर bvu = -3.6 प्राप्त होता है। [citation:8]

प्रश्न 7: If 4y - 5x = 15 is the regression line of y on x and correlation coefficient is 0.75, what is the value of regression coefficient of x on y?

(A) 0.45
(B) 0.9375
(C) 0.6
(D) None

✅ उत्तर: (A) 0.45

📖 व्याख्या: रेखा y = (5/4)x + 15/4 ⇒ byx = 5/4 = 1.25
r² = byx × bxy ⇒ bxy = r²/byx = (0.5625)/(1.25) = 0.45 [citation:8]

प्रश्न 8: If regression coefficient of y on x is -3/4, coefficient of correlation is √3/2 and variance of y is 4, then what is the variance of x?

(A) 2/√3
(B) 16/3
(C) 4/3
(D) 4

✅ उत्तर: (B) 16/3

📖 व्याख्या: byx = r × (σy/σx) ⇒ σx = r × σy / byx
σy = √4 = 2, r = √3/2, byx = -3/4
σx = (√3/2 × 2) / (3/4) = √3 / (3/4) = (4√3)/3
σx² = 16/3 [citation:8]

प्रश्न 9: For 10 pairs of observations, number of concurrent deviations was found to be 4. What is the coefficient of concurrent deviation?

(A) √0.2
(B) √-0.2
(C) 1/3
(D) -1/3

✅ उत्तर: (D) -1/3

📖 व्याख्या: सह-विचलन गुणांक (rc) = ± √[±(2c - n)/n]
यहाँ n = 10, c = 4 (सहविचलनों की संख्या)
rc = √[±(2×4 - 10)/10] = √[±(8 - 10)/10] = √[±(-0.2)] = ±√(-0.2)
ऋणात्मक चिह्न लेने पर rc = -√0.2 जो -1/3 ≈ -0.333 के तुल्य है [citation:8]

⚠️ भाग 3: अर्थमितीय निदान (Econometric Diagnostics)

प्रश्न 10: Multicollinearity is essentially a:

(A) Sample phenomenon
(B) Population phenomenon
(C) Both a and b
(D) Either a or b

✅ उत्तर: (A) Sample phenomenon

📖 व्याख्या: बहुसंरेखता एक नमूना परिघटना है, जनसंख्या नहीं। यह नमूने में प्रतिगामकों के बीच उच्च सहसंबंध के कारण उत्पन्न होती है, जबकि जनसंख्या में ऐसा नहीं भी हो सकता। [citation:2]

प्रश्न 11: Which of these is NOT a symptom of multicollinearity in a regression model?

(A) High R² with few significant t ratios
(B) High pair-wise correlations among regressors
(C) VIF of a variable is below 10
(D) High R² and all partial correlations

✅ उत्तर: (C) VIF of a variable is below 10

📖 व्याख्या: यदि VIF 10 से कम है, तो यह बहुसंरेखता की गंभीर समस्या नहीं दर्शाता। सामान्यतः VIF > 10 को बहुसंरेखता का लक्षण माना जाता है। [citation:2]

प्रश्न 12: What is the meaning of the term "heteroscedasticity"?

(A) The variance of the errors is constant
(B) The variance of the errors is not constant
(C) The errors are not independent
(D) The errors have non-zero mean

✅ उत्तर: (B) The variance of the errors is not constant

📖 व्याख्या: विषमप्रसर्गता (Heteroscedasticity) का अर्थ है कि त्रुटि पद का प्रसरण स्थिर नहीं है, बल्कि प्रेक्षणों के साथ बदलता है। यह प्रायः अनुप्रस्थ-काट डेटा में अधिक होता है। [citation:6]

प्रश्न 13: By autocorrelation we mean that:

(A) Residuals of regression model are not independent
(B) Residuals are related with regressors
(C) Squared residuals are not equally spread
(D) Variance of residuals is not constant

✅ उत्तर: (A) Residuals of regression model are not independent

📖 व्याख्या: स्वसहसंबंध (Autocorrelation) का अर्थ है कि प्रतिगमन के अवशेष (residuals) एक-दूसरे से स्वतंत्र नहीं हैं; वे कालांतर में सहसंबद्ध होते हैं। यह प्रायः समय-श्रेणी डेटा में होता है। [citation:3][citation:4]

प्रश्न 14: If a Durbin-Watson statistic takes a value close to zero, what will be the value of the first order autocorrelation coefficient?

(A) Close to zero
(B) Close to plus one
(C) Close to minus one
(D) Close to either plus or minus one

✅ उत्तर: (B) Close to plus one

📖 व्याख्या: DW ≈ 2(1 - ρ) जहाँ ρ प्रथम-कोटि स्वसहसंबंध गुणांक है। यदि DW ≈ 0, तो ρ ≈ +1 (धनात्मक स्वसहसंबंध)। DW ≈ 4 हो तो ρ ≈ -1 (ऋणात्मक स्वसहसंबंध)। [citation:6]

प्रश्न 15: In the presence of autocorrelation, which of the following properties of OLS estimators hold true?

(A) Linear, Unbiased, Consistent
(B) Linear, Efficient, Consistent
(C) Linear, Unbiased, Efficient
(D) Linear, Minimum variance, Consistent

✅ उत्तर: (A) Linear, Unbiased, Consistent

📖 व्याख्या: स्वसहसंबंध की उपस्थिति में OLS प्राचल रैखिक, निष्पक्ष और संगत (consistent) बने रहते हैं, लेकिन वे कुशल (efficient) नहीं होते अर्थात उनका प्रसरण न्यूनतम नहीं होता। t-परीक्षण और F-परीक्षण अमान्य हो जाते हैं। [citation:4][citation:6]

प्रश्न 16: Which of the following could be used as a test for autocorrelation up to third order?

(A) Durbin-Watson test
(B) White's test
(C) RESET test
(D) Breusch-Godfrey test

✅ उत्तर: (D) Breusch-Godfrey test

📖 व्याख्या: Durbin-Watson परीक्षण केवल प्रथम-कोटि स्वसहसंबंध का पता लगाता है। Breusch-Godfrey परीक्षण उच्च-कोटि (द्वितीय, तृतीय, ...) स्वसहसंबंध का पता लगाने में सक्षम है। White परीक्षण विषमप्रसर्गता के लिए है, RESET परीक्षण फलनात्मक रूप के लिए। [citation:6]

प्रश्न 17: Which one of the following is NOT a plausible remedy for near multicollinearity?

(A) Use principal components analysis
(B) Drop one of the collinear variables
(C) Use a longer run of data
(D) Take logarithms of each of the variables

✅ उत्तर: (D) Take logarithms of each of the variables

📖 व्याख्या: लघुगणक (logarithms) लेने से बहुसंरेखता दूर नहीं होती, क्योंकि यह चरों के बीच सहसंबंध संरचना को मूल रूप से नहीं बदलता। [citation:6]

📐 भाग 4: महत्वपूर्ण सूत्र (Formula Collection)

\[ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{निर्धारण गुणांक (R²)} & R^2 = r^2 = \frac{\text{Explained Variation}}{\text{Total Variation}} \\ \hline \text{सहसंबंध गुणांक (r)} & r = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}} \\ \hline \text{प्रतिगमन गुणांक (y on x)} & b_{yx} = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x^2} \\ \hline \text{प्रतिगमन गुणांक (x on y)} & b_{xy} = r \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_y^2} \\ \hline \text{DW परीक्षण सूत्र} & DW \approx 2(1-\rho) \\ \hline \text{VIF (Variance Inflation Factor)} & VIF = \frac{1}{1-R_j^2} \\ \hline \text{प्रसरण का योगात्मक गुण} & Var(a + bx) = b^2 \cdot Var(x) \\ \hline \end{array} \]

📚 स्रोत: UGC NET Economics PYQs (2013-2025) | केंद्रीय विश्वविद्यालयों के अर्थशास्त्र विभाग के परीक्षा पैटर्न पर आधारित