25 सूत्रों पर 50 प्रश्न
📐 25 सूत्रों पर 50 प्रश्न (प्रति सूत्र 2 प्रश्न)
पूर्ण हल + परीक्षा उपयोगी दृष्टिकोण – UGC NET / शोध पद्धति
📍 समूह 1: सहसंबंध (Correlation)
सूत्र 1 – कार्ल पियर्सन का r (विचलन रूप)
\[ r = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot \sum (Y - \bar{Y})^2}} \]
प्रश्न 1 (आसान) – विचलनों से r
Q: एक अध्ययन में X और Y के विचलन दिए हैं:\((X-\bar{X}) = [-2, -1, 0, 1, 2]\), \((Y-\bar{Y}) = [-3, -1, 0, 2, 2]\). r ज्ञात करें।
हल: \((X-\bar{X})(Y-\bar{Y})\): \((-2)(-3)=6,\; (-1)(-1)=1,\; 0,\; 1×2=2,\; 2×2=4\) → योग = 13.
\(\sum (X-\bar{X})^2 = 4+1+0+1+4=10\), \(\sum (Y-\bar{Y})^2 = 9+1+0+4+4=18\)
\( r = \frac{13}{\sqrt{10×18}} = \frac{13}{\sqrt{180}} \approx \frac{13}{13.416} \approx 0.969 \)
उत्तर: r ≈ 0.97 (उच्च धनात्मक सहसंबंध)
\(\sum (X-\bar{X})^2 = 4+1+0+1+4=10\), \(\sum (Y-\bar{Y})^2 = 9+1+0+4+4=18\)
\( r = \frac{13}{\sqrt{10×18}} = \frac{13}{\sqrt{180}} \approx \frac{13}{13.416} \approx 0.969 \)
उत्तर: r ≈ 0.97 (उच्च धनात्मक सहसंबंध)
प्रश्न 2 (मध्यम) – योग दिए हों
Q: 5 अवलोकन: \(\sum (X-\bar{X})(Y-\bar{Y}) = 24\), \(\sum (X-\bar{X})^2 = 30\), \(\sum (Y-\bar{Y})^2 = 40\). r ज्ञात करें।
हल: \( r = \frac{24}{\sqrt{30×40}} = \frac{24}{\sqrt{1200}} = \frac{24}{34.641} \approx 0.693 \)
उत्तर: r ≈ 0.693 (मध्यम धनात्मक)
उत्तर: r ≈ 0.693 (मध्यम धनात्मक)
सूत्र 2 – कार्ल पियर्सन r (गणना सूत्र)
\[ r = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2] \cdot [n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \]
प्रश्न 1 (आसान)
Q: n=10, ΣX=50, ΣY=60, ΣXY=800, ΣX²=700, ΣY²=900. r ज्ञात करें।
हल: अंश = 10×800 - 50×60 = 8000-3000=5000.
\(\; nΣX²-(ΣX)² = 7000-2500=4500\), \(nΣY²-(ΣY)²=9000-3600=5400\)
हर = √(4500×5400)=√24,300,000≈4929.5 → r≈5000/4929.5≈1.014 (परीक्षा में r≤1, यहाँ संकेत मात्र)
उत्तर: लगभग 0.99 (सही डेटा में)
\(\; nΣX²-(ΣX)² = 7000-2500=4500\), \(nΣY²-(ΣY)²=9000-3600=5400\)
हर = √(4500×5400)=√24,300,000≈4929.5 → r≈5000/4929.5≈1.014 (परीक्षा में r≤1, यहाँ संकेत मात्र)
उत्तर: लगभग 0.99 (सही डेटा में)
प्रश्न 2 (मध्यम)
Q: 8 छात्र: ΣX=320, ΣY=360, ΣXY=15200, ΣX²=13600, ΣY²=17200, n=8. r ज्ञात करें।
हल: अंश=8×15200 - 320×360 = 121600-115200=6400.
\(nΣX²-(ΣX)²=8×13600 - 102400=108800-102400=6400\)
\(nΣY²-(ΣY)²=8×17200 - 129600=137600-129600=8000\)
हर=√(6400×8000)=√51,200,000≈7155.4 → r≈6400/7155.4≈0.894
उत्तर: r ≈ 0.894 (उच्च धनात्मक)
\(nΣX²-(ΣX)²=8×13600 - 102400=108800-102400=6400\)
\(nΣY²-(ΣY)²=8×17200 - 129600=137600-129600=8000\)
हर=√(6400×8000)=√51,200,000≈7155.4 → r≈6400/7155.4≈0.894
उत्तर: r ≈ 0.894 (उच्च धनात्मक)
सूत्र 3 – Cov (परिभाषा)
\[ \text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{n} \]
प्रश्न 1 (आसान)
Q: विचलन गुणनफल योग = 50, n=10. Cov ज्ञात करें?हल: Cov = 50/10 = 5
उत्तर: Cov = 5
उत्तर: Cov = 5
प्रश्न 2 (मध्यम)
Q: विचलन गुणनफल: [4,6,-2,8,-4], n=5. Cov?हल: योग=4+6-2+8-4=12 → Cov=12/5=2.4
उत्तर: Cov = 2.4
उत्तर: Cov = 2.4
सूत्र 4 – Cov (गणना रूप)
\[ \text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum XY}{n} - \bar{X}\bar{Y} \]
प्रश्न 1 (आसान)
Q: ΣXY=300, n=10, \(\bar{X}=5,\bar{Y}=4.5\). Cov?हल: \(\frac{300}{10}=30\), \(5×4.5=22.5\), Cov=30-22.5=7.5
उत्तर: 7.5
उत्तर: 7.5
प्रश्न 2 (मध्यम)
Q: ΣXY=420, n=7, \(\bar{X}=8,\bar{Y}=6\). Cov?हल: 420/7=60, 8×6=48, Cov=12
उत्तर: Cov = 12
उत्तर: Cov = 12
सूत्र 5 – स्पीयरमैन ρ (बिना टाई)
\[ \rho = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \]
प्रश्न 1 (आसान)
Q: n=5, Σdᵢ²=4. ρ?हल: ρ = 1 - (6×4)/(5×24) = 1 - 24/120 = 1 - 0.2 = 0.8
उत्तर: ρ = 0.8
उत्तर: ρ = 0.8
प्रश्न 2 (मध्यम)
Q: n=10, Σdᵢ²=30. ρ?हल: ρ = 1 - (180)/(10×99) = 1 - 180/990 = 1 - 0.1818 = 0.8182
उत्तर: ρ ≈ 0.818
उत्तर: ρ ≈ 0.818
सूत्र 6 – स्पीयरमैन ρ (टाई सहित)
\[ \rho = 1 - \frac{6\left[\sum d_i^2 + \frac{m^3 - m}{12} + \dots \right]}{n(n^2 - 1)} \]
प्रश्न (मध्यम)
Q: n=6, Σdᵢ²=8, एक टाई समूह m=2. टाई सुधार के साथ ρ ज्ञात करें?हल: टाई सुधार = (2³-2)/12 = 6/12=0.5, समायोजित Σdᵢ² = 8+0.5=8.5
ρ = 1 - (6×8.5)/(6×35) = 1 - 51/210 = 1 - 0.2429 = 0.7571
उत्तर: ρ ≈ 0.757
ρ = 1 - (6×8.5)/(6×35) = 1 - 51/210 = 1 - 0.2429 = 0.7571
उत्तर: ρ ≈ 0.757
📈 समूह 2: प्रतिगमन (Regression)
सूत्र 7 – b (विचलन रूप)
\[ b = \frac{\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y})}{\sum (X - \bar{X})^2} \]
प्रश्न 1
Q: विचलन गुणनफल योग = 40, X विचलन वर्ग योग = 20. b?हल: b = 40/20 = 2
उत्तर: b=2
उत्तर: b=2
प्रश्न 2
Q: Cov=3.6, Var(X)=4. b?हल: b = Cov/Var = 3.6/4 = 0.9
उत्तर: b=0.9
उत्तर: b=0.9
सूत्र 8 – b (गणना रूप)
\[ b = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^2 - (\sum X)^2} \]
प्रश्न 1
Q: n=5, ΣX=15, ΣY=20, ΣXY=70, ΣX²=55. b?हल: अंश=5×70-15×20=350-300=50, हर=5×55-225=275-225=50 → b=1
उत्तर: b=1
उत्तर: b=1
प्रश्न 2
Q: n=6, ΣX=36, ΣY=48, ΣXY=310, ΣX²=240. b?हल: अंश=6×310-36×48=1860-1728=132, हर=6×240-1296=1440-1296=144, b=132/144=0.9167
उत्तर: b≈0.917
उत्तर: b≈0.917
सूत्र 9 – b (r और SD से)
\[ b_{YX} = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} \]
प्रश्न 1
Q: r=0.8, σy=5, σx=2. bYX?हल: b = 0.8×(5/2)=0.8×2.5=2
उत्तर: 2
उत्तर: 2
प्रश्न 2
Q: r=0.6, Var(Y)=9, Var(X)=4. bYX?हल: σy=3, σx=2 → b=0.6×1.5=0.9
उत्तर: 0.9
उत्तर: 0.9
सूत्र 10 – अंत:खंड a
\[ a = \bar{Y} - b\bar{X} \]
प्रश्न 1
Q: \(\bar{Y}=10,\bar{X}=4,b=1.5\). a?हल: a=10-1.5×4=10-6=4
उत्तर: a=4
उत्तर: a=4
प्रश्न 2
Q: b=0.8, ΣX=50, ΣY=70, n=10. a?हल: \(\bar{X}=5,\bar{Y}=7\) → a=7-0.8×5=3
उत्तर: a=3
उत्तर: a=3
सूत्र 11 – समीकरण \(\hat{Y}=a+bX\)
प्रश्न 1
Q: a=3, b=2, X=10 पर \(\hat{Y}\)?हल: \(\hat{Y}=3+2×10=23\)
प्रश्न 2
Q: \(\hat{Y}=5+0.6X\), X=12 से 15 तक, \(\hat{Y}\) में परिवर्तन?हल: ΔY = 0.6×(15-12)=1.8 वृद्धि
उत्तर: +1.8
उत्तर: +1.8
सूत्र 12 – bXY
\[ b_{XY} = r \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} \]
प्रश्न 1
Q: r=0.8, σx=3, σy=6. bXY?हल: b=0.8×(3/6)=0.8×0.5=0.4
प्रश्न 2
Q: r=-0.5, σx=2, σy=5. bXY?हल: b=-0.5×(2/5)=-0.2
सूत्र 13 – r = ±√(bYX·bXY)
प्रश्न 1
Q: bYX=0.9, bXY=0.4. r?हल: गुणनफल=0.36, r=+0.6
प्रश्न 2
Q: bYX=-1.2, bXY=-0.3. r?हल: गुणनफल=0.36, r=-0.6
📊 समूह 3: R² और निर्धारण
सूत्र 14 – R² = r²
प्रश्न 1
Q: r=0.9 → R²?R²=0.81 (81%)
प्रश्न 2
Q: r=-0.7 → R²?R²=0.49
सूत्र 15 – R² = SSreg/SStot
\[ R^2 = \frac{\sum (\hat{Y}-\bar{Y})^2}{\sum (Y-\bar{Y})^2} \]
प्रश्न 1
Q: समझाई गई भिन्नता=50, कुल=100 → R²=0.5प्रश्न 2
Q: Σ(Ŷ-Ȳ)²=180, Σ(Y-Ȳ)²=200 → R²=0.9सूत्र 16 – R² = 1 - RSS/TSS
प्रश्न 1
Q: RSS=20, TSS=100 → R²=0.8प्रश्न 2
Q: RSS=30, TSS=120 → R²=0.75सूत्र 17 – Adjusted R²
\[ \bar{R}^2 = 1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} \]
प्रश्न 1
Q: R²=0.8, n=30, k=2 → \(\bar{R}^2 = 1-0.2×29/27 = 1-0.2148=0.7852\)प्रश्न 2
Q: R²=0.9, n=10, k=3 → \(\bar{R}^2 = 1-0.1×9/6 = 1-0.15=0.85\)⚙️ समूह 4: मानक त्रुटियाँ, σᵤ , t
सूत्र 18 – SE(b) = σᵤ/√Σ(X-X̄)²
प्रश्न 1
Q: σᵤ=2, Σ(X-X̄)²=16 → SE(b)=2/4=0.5प्रश्न 2
Q: RSS=18, n=10, Σ(X-X̄)²=36 → σᵤ=√(18/8)=1.5, SE=1.5/6=0.25सूत्र 19 – SE(a)
\[ SE(a) = \sigma_u \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X-\bar{X})^2}} \]
प्रश्न 1
Q: σᵤ=2, n=10, \(\bar{X}=5\), Σ(X-X̄)²=50 → SE(a)=2√(0.1+0.5)=2√0.6≈1.549प्रश्न 2
Q: σᵤ=1.5, n=25, \(\bar{X}=4\), Σ=80 → SE(a)=1.5√(0.04+0.2)=1.5√0.24≈0.735सूत्र 20 – σᵤ = √(RSS/(n-2))
प्रश्न 1
Q: RSS=32, n=10 → σᵤ=√(32/8)=2प्रश्न 2
Q: RSS=50, n=12 → σᵤ=√(50/10)=√5≈2.236सूत्र 21 – t = b/SE(b)
प्रश्न 1
Q: b=3, SE=1.5 → t=2प्रश्न 2
Q: b=-2.5, SE=0.8 → t=-3.125, |t|>2 → महत्वपूर्ण🔍 समूह 5: नैदानिक सूत्र
सूत्र 22 – डर्बिन-वॉटसन DW
\[ DW = \frac{\sum (u_t-u_{t-1})^2}{\sum u_t^2} \]
प्रश्न 1
Q: अंतर वर्ग योग=24, त्रुटि वर्ग योग=20 → DW=1.2 (धनात्मक स्वसहसंबंध)प्रश्न 2
Q: DW=2.5 → ऋणात्मक स्वसहसंबंधसूत्र 23 – VIF = 1/(1-Rⱼ²)
प्रश्न 1
Q: Rⱼ²=0.9 → VIF=10प्रश्न 2
Q: Rⱼ²=0.95 → VIF=20 (गंभीर बहुसहसंबंध)🧩 समूह 6: bYX एवं bXY (पुनरावलोकन)
सूत्र 24 – bYX = r·σY/σX (सूत्र 9)
प्रश्न
Q: r=0.5, σY=4, σX=2 → bYX=0.5×2=1सूत्र 25 – bXY = r·σX/σY (सूत्र 12)
प्रश्न
Q: r=0.5, σX=2, σY=4 → bXY=0.5×0.5=0.25
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