प्रसरण, मानक विचलन, विचरण गुणांक

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📊 पूर्ण संकलन: UGC NET
प्रसरण, मानक विचलन, विचरण गुणांक

✅ बिना किसी शब्द को हटाए – ज्यों का त्यों क्रमबद्ध प्रश्न, समाधान एवं सूत्र

प्रश्न 1: मानक विचलन की परिभाषा (वर्ष 2022)

"Standard deviation is a/an _______."

(A) Measure of central tendency
(B) Measure of deviation
(C) Average amount of variation around the mean
(D) Dispersion

✅ उत्तर: (C) Average amount of variation around the mean

📖 व्याख्या: मानक विचलन यह मापता है कि डेटा के मान माध्य (औसत) के आसपास कितने बिखरे हुए हैं। यह केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है, बल्कि परिवर्तनशीलता का माप है।

प्रश्न 2: विचरण के गुणांक (CV) का सूत्र (वर्ष 2021)

"Which of the following statement is correct?"

(A) Coefficient of variance = σ/X̄ × 100
(B) If the value in a series is negative, the standard deviation is also negative
(C) If the value in a series multiplied by σ, the variance would be multiplied by 36
(D) Standard deviation is equal to the square of variance

✅ उत्तर: (A) Coefficient of variance = σ/X̄ × 100

📖 व्याख्या: विचरण गुणांक का सूत्र CV = (σ / X̄) × 100 है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि मानक विचलन कभी ऋणात्मक नहीं होता। विकल्प (D) गलत है क्योंकि मानक विचलन, प्रसरण का वर्गमूल होता है, न कि वर्ग।

प्रश्न 3: विचरण गुणांक (CV) का उपयोग (वर्ष 2026)

"Which of the following is a measure of relative risk and is calculated by dividing the standard deviation by its expected value?"

(A) Variance
(B) Coefficient of Variance
(C) Covariance
(D) Geometric Mean

✅ उत्तर: (B) Coefficient of Variance

📖 व्याख्या: विचरण का गुणांक (CV) मानक विचलन (σ) को माध्य (X̄) से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है और इसे सापेक्ष जोखिम के माप के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग विभिन्न इकाइयों में मापी गई श्रृंखलाओं की तुलना के लिए किया जाता है।

प्रश्न 4: प्रथम n प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन (वर्ष 2025)

"Which one of the following is the standard deviation of the first 'n' natural number?"

(A) √((n²+1)/12)
(B) √(n(n+1)/12)
(C) √((n²-1)/12)
(D) √(n(n-1)/12)

✅ उत्तर: (C) √((n²-1)/12)

📖 व्याख्या: प्रथम n प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, ..., n) का मानक विचलन सूत्र σ = √[(n² - 1)/12] द्वारा दिया जाता है। यह एक महत्वपूर्ण सूत्र है जो अक्सर परीक्षा में पूछा जाता है।

प्रश्न 5: पॉइसन वितरण में CV (वर्ष 2023)

"The coefficient of variation for a Poisson distribution with λ(mean) = 5 is ______."

(A) 64.4 percent
(B) 44.7 percent
(C) 34.5 percent
(D) 24.5 percent

✅ उत्तर: (B) 44.7 percent

📖 व्याख्या: पॉइसन वितरण में, माध्य (λ) और प्रसरण (λ) बराबर होते हैं। अतः मानक विचलन σ = √λ = √5 ≈ 2.236। CV = (σ/λ) × 100 = (2.236/5) × 100 ≈ 44.7%। या सीधे सूत्र CV = (1/√λ) × 100 = (1/√5) × 100 ≈ 44.7%।

प्रश्न 6: आंकिक गणना - माध्य और मानक विचलन (वर्ष 2019)

मान: 196, 198, 194, 199, 198 का माध्य और मानक विचलन ज्ञात करें।

✅ उत्तर: माध्य = 197, मानक विचलन ≈ 2

📖 व्याख्या: · योग = 196 + 198 + 194 + 199 + 198 = 985
· माध्य = 985/5 = 197
· विचलन: -1, 1, -3, 2, 1
· विचलनों के वर्ग: 1, 1, 9, 4, 1
· वर्गों का योग = 16
· प्रसरण = 16/5 = 3.2
· मानक विचलन = √3.2 ≈ 1.79 ≈ 2 (लगभग)

प्रश्न 7: बहुविकल्पी अवधारणात्मक प्रश्न (वर्ष 2019)

"Which of the following are correct?"
(a) Quartile deviation is a measure of variability taken about median.
(b) Coefficient of variation is percentage variation adjusted with median.
(c) In positive skewness, test is too easy.
(d) Degree of freedom is number of independent variables.

(A) (a) and (b)
(B) (b) and (c)
(C) (c) and (d)
(D) (a) and (d)

✅ उत्तर: (D) (a) and (d)

📖 व्याख्या: · (a) सही है: चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) माध्यिका के परितः फैलाव को मापता है।
· (b) गलत है: CV माध्य (μ) से जुड़ा है, माध्यिका से नहीं। CV = (σ/μ) × 100।
· (c) गलत है: धनात्मक विषमता में परीक्षण सरल होना, यह कथन सांख्यिकीय रूप से सही नहीं है।
· (d) सही है: स्वतंत्रता की कोटि (Degree of freedom) स्वतंत्र चरों की संख्या होती है।

प्रश्न 8: आंकिक - SD और प्रसरण पर संक्रियाएँ

If the SD of x is 3, what is the variance of (5 - 2x)?

✅ उत्तर: 36

📖 व्याख्या: · Var(x) = (SD)² = 3² = 9
· सूत्र: Var(a + bx) = b² × Var(x)
· यहाँ b = -2, अतः Var(5 - 2x) = (-2)² × 9 = 4 × 9 = 36

प्रश्न 9: आंकिक - दो चरों के मानक विचलन का संबंध

If x and y are related by 2x + 3y + 4 = 0 and SD of x is 6, then SD of y is:

✅ उत्तर: 4

📖 व्याख्या: · समीकरण: 2x + 3y + 4 = 0
· y के लिए हल करें: 3y = -2x - 4 ⇒ y = (-2/3)x - 4/3
· सूत्र: SD(y) = |b| × SD(x), जहाँ b = -2/3
· SD(y) = (2/3) × 6 = 4

प्रश्न 10: आंकिक - प्रथम n प्राकृत संख्याओं से n ज्ञात करना

If the S.D. of the 1st n natural numbers is √30, then the value of n is:

✅ उत्तर: 19

📖 व्याख्या: · प्रथम n प्राकृत संख्याओं के लिए सूत्र: σ = √[(n² - 1)/12]
· दिया है: √[(n² - 1)/12] = √30
· दोनों पक्षों का वर्ग करें: (n² - 1)/12 = 30
· n² - 1 = 360
· n² = 361
· n = 19 (क्योंकि n धनात्मक है)

प्रश्न 11: आंकिक - सहसंबंध गुणांक की गणना

Covariance = -17.8, SD of X = 6.6, SD of Y = 4.2, then Coefficient of correlation (r) = ?

✅ उत्तर: -0.642

📖 व्याख्या: · सूत्र: r = Cov(X,Y) / (σx × σy)
· r = -17.8 / (6.6 × 4.2)
· r = -17.8 / 27.72
· r = -0.642 (लगभग)

प्रश्न 12: आंकिक - CV से माध्य ज्ञात करना

If σ² = 100 and coefficient of variation is 20%, then X̄ = ?

✅ उत्तर: 50

📖 व्याख्या: · σ² = 100 ⇒ σ = 10
· CV = (σ / X̄) × 100 = 20
· (10 / X̄) × 100 = 20
· 1000 / X̄ = 20
· X̄ = 1000 / 20 = 50

प्रश्न 13: मूल बदलाव (Origin Shift) का प्रभाव

If all the observations are increased by 5, then:

(A) S.D. would be increased by 5
(B) Mean deviation would be increased by 5
(C) Quartile deviation would be increased by 5
(D) All the three would not be increased by 5

✅ उत्तर: (D) All the three would not be increased by 5

📖 व्याख्या: यदि सभी प्रेक्षणों में एक स्थिरांक (यहाँ 5) जोड़ दिया जाए, तो माध्य तो बदल जाता है, लेकिन मानक विचलन, माध्य विचलन और चतुर्थक विचलन अपरिवर्तित रहते हैं। यह बिखराव के मापों का एक महत्वपूर्ण गुण है।

प्रश्न 14: आंकिक - सम्मिलित मानक विचलन (दो समूह)

दो समूह:
· समूह A: n₁ = 50, X̄₁ = 100, σ₁ = 10
· समूह B: n₂ = 100, X̄₂ = 120, σ₂ = 15
सम्मिलित मानक विचलन ज्ञात करें।

✅ उत्तर: ≈ 16.50

📖 व्याख्या: · कुल N = 50 + 100 = 150
· सम्मिलित माध्य: X̄_c = (50×100 + 100×120)/150 = (5000 + 12000)/150 = 17000/150 = 113.33
· d₁ = 100 - 113.33 = -13.33, d₁² = 177.69
· d₂ = 120 - 113.33 = 6.67, d₂² = 44.49
· सम्मिलित प्रसरण: σ_c² = [50(10² + 177.69) + 100(15² + 44.49)] / 150
· σ_c² = [50(100 + 177.69) + 100(225 + 44.49)] / 150
· σ_c² = [50×277.69 + 100×269.49] / 150 = 40833.5/150 = 272.22
· σ_c = √272.22 ≈ 16.50

प्रश्न 15: सही/गलत कथन (त्वरित पुनरावलोकन के लिए)

कथन	सत्य/असत्य
प्रसरण हमेशा मानक विचलन से बड़ा होता है	असत्य (जब σ<1 तब प्रसरण छोटा होता है)
CV का उपयोग विभिन्न इकाइयों की तुलना के लिए होता है	सत्य
सभी मानों में 5 जोड़ने से मानक विचलन बढ़ जाता है	असत्य (अपरिवर्तित रहता है)
सभी मानों को 2 से गुणा करने से प्रसरण 4 गुना हो जाता है	सत्य
नमूना प्रसरण में हर (n-1) होता है	सत्य
सहप्रसरण (Covariance) ऋणात्मक हो सकता है	सत्य
प्रसरण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता	सत्य

📐 सभी आवश्यक सूत्र (एक साथ)

\( \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} = \frac{\sum x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum x_i}{N}\right)^2 \)

\( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)

\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)

\( \text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \)

\( \sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}} \)

\( \text{CV}_{\text{Poisson}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \times 100 \)

\( \bar{X}_c = \frac{n_1\bar{X}_1 + n_2\bar{X}_2}{n_1 + n_2} \)

\( \sigma_c^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2},\quad d_i = \bar{X}_i - \bar{X}_c \)

\( r = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y} \)

\( \text{Var}(a + bx) = b^2 \times \text{Var}(x) \)

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📌 प्रत्येक सूत्र से संबंधित दो-दो नए प्रश्न (UGC NET स्तर)

1. प्रसरण (Variance) - जनसंख्या

प्रश्न 1.1: संख्याएँ: 4, 8, 12, 16, 20 का प्रसरण ज्ञात करें।

उत्तर: 32

हल: N=5, Σx=60, μ=12, Σx²=880, σ² = (880/5) - (12)² = 176-144=32

प्रश्न 1.2: यदि किसी डेटा के लिए N = 8, Σx = 160, Σx² = 4000 है, तो प्रसरण ज्ञात करें।

उत्तर: 100

हल: μ = 160/8 = 20, σ² = (4000/8) - (20)² = 500 - 400 = 100

2. प्रसरण (Variance) - नमूना

प्रश्न 2.1: एक नमूने के मान: 10, 12, 14, 16, 18 हैं। नमूना प्रसरण ज्ञात करें।

उत्तर: 10

हल: n=5, x̄=14, Σ(xi-x̄)²=40, s²=40/4=10

प्रश्न 2.2: एक नमूने में 6 प्रेक्षण हैं। Σ(xi - x̄)² = 120 है। नमूना प्रसरण ज्ञात करें।

उत्तर: 24

हल: n=6, s²=120/(6-1)=120/5=24

3. मानक विचलन (SD)

प्रश्न 3.1: यदि किसी डेटा का प्रसरण 144 है, तो मानक विचलन ज्ञात करें।

उत्तर: 12

प्रश्न 3.2: एक परीक्षा में 50 छात्रों के अंकों का प्रसरण 256 है। मानक विचलन ज्ञात करें।

उत्तर: 16

4. विचरण गुणांक (CV)

प्रश्न 4.1: यदि माध्य = 50 और मानक विचलन = 10 है, तो विचरण गुणांक ज्ञात करें।

उत्तर: 20%

प्रश्न 4.2: एक डेटा का माध्य 80 और मानक विचलन 20 है। CV ज्ञात करें।

उत्तर: 25%

5. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का SD

प्रश्न 5.1: प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन ज्ञात करें।

≈ 5.766

प्रश्न 5.2: प्रथम 15 प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन ज्ञात करें।

≈ 4.32

6. पॉइसन वितरण में CV

प्रश्न 6.1: पॉइसन वितरण में माध्य λ = 16 है। CV ज्ञात करें।

25%

प्रश्न 6.2: पॉइसन वितरण में माध्य λ = 25 है। CV ज्ञात करें।

20%

7. सम्मिलित माध्य (Combined Mean)

प्रश्न 7.1: A: n₁=40, X̄₁=60 ; B: n₂=60, X̄₂=70 => सम्मिलित माध्य?

66

प्रश्न 7.2: P: n₁=30, X̄₁=25 ; Q: n₂=50, X̄₂=35 => सम्मिलित माध्य?

31.25

8. सम्मिलित प्रसरण (Combined Variance)

प्रश्न 8.1: A: n₁=30, X̄₁=40, σ₁=5 ; B: n₂=20, X̄₂=50, σ₂=6 => सम्मिलित प्रसरण?

53.4

प्रश्न 8.2: X: n₁=50, X̄₁=70, σ₁=8 ; Y: n₂=50, X̄₂=80, σ₂=10 => सम्मिलित प्रसरण?

107

9. सहसंबंध गुणांक (r)

प्रश्न 9.1: Cov=24, σx=4, σy=6 => r?

1

प्रश्न 9.2: Cov=-15, σx=5, σy=5 => r?

-0.6

10. योगात्मक गुण (Additive Property)

प्रश्न 10.1: Var(x)=9, Var(3x+2) = ?

81

प्रश्न 10.2: SD(x)=4, Var(5-2x)=?

64

अतिरिक्त: दो चरों के मानक विचलन का संबंध

प्रश्न 11.1: y=4x+3, SD(x)=5 => SD(y)=?

20

प्रश्न 11.2: 3x+2y=10, SD(x)=2 => SD(y)=?

3

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✅ पूर्ण संकलन — एक भी शब्द नहीं हटाया गया। सभी प्रश्न, समाधान एवं सूत्र यथावत प्रस्तुत हैं।

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