Solow numerical

📚 UGC NET Economics: Solow और Harrod-Domar Model
पूर्ण प्रश्नोत्तर संकलन

निर्देश: यहाँ प्रत्येक प्रश्न एवं उसका संपूर्ण समाधान मूल रूप में, बिना किसी शब्द या विकल्प को हटाए, प्रस्तुत है। सभी गणितीय व्यंजक LaTeX में हैं।

📌 भाग 1: Solow Model (आर्थिक विकास मॉडल)

Solow Model - Numerical 1

प्रश्न 1: एक अर्थव्यवस्था में:
- बचत दर (s) = 0.3
- जनसंख्या वृद्धि दर (n) = 0.02
- मूल्यह्रास दर (δ) = 0.05
- उत्पादन फलन: \( Y = K^{0.3} L^{0.7} \)
प्रति श्रमिक स्थिर अवस्था पूंजी (k*) और आउटपुट (y*) ज्ञात करें।

✅ पूरा समाधान (Step-by-Step):

1. प्रति श्रमिक उत्पादन फलन:
\( y = \frac{Y}{L} = \frac{K^{0.3} L^{0.7}}{L} = \frac{K^{0.3}}{L^{0.3}} = \left(\frac{K}{L}\right)^{0.3} = k^{0.3} \)

2. स्थिर अवस्था की शर्त:
\( \Delta k = 0 \Rightarrow s \cdot y = (n + δ)k \)
\( 0.3 \cdot k^{0.3} = (0.02 + 0.05)k \)
\( 0.3 \cdot k^{0.3} = 0.07k \)

3. k* के लिए हल:
\( \frac{0.3}{0.07} = \frac{k}{k^{0.3}} \)
\( 4.2857 = k^{0.7} \)
\( k^{*} = (4.2857)^{1/0.7} = (4.2857)^{1.4286} \)
\( k^{*} \approx 8.16 \)

4. y* की गणना:
\( y^{*} = (k^{*})^{0.3} = (8.16)^{0.3} \approx 1.87 \)

👉 अंतिम उत्तर: \( k^{*} \approx 8.16, \quad y^{*} \approx 1.87 \)

Solow Model - Golden Rule

प्रश्न 2: यदि उत्पादन फलन \( y = \sqrt{k} \) है, \( n = 0.03 \), \( δ = 0.02 \)
स्वर्णिम नियम के लिए बचत दर (s_g) क्या होगी?

✅ पूरा समाधान:

1. स्वर्णिम नियम की शर्त: \( MPK = n + δ \)

2. MPK ज्ञात करें:
\( y = k^{0.5} \)
\( MPK = \frac{dy}{dk} = 0.5 k^{-0.5} = \frac{0.5}{\sqrt{k}} \)

3. समीकरण बनाएँ:
\( \frac{0.5}{\sqrt{k_g}} = 0.03 + 0.02 = 0.05 \)
\( \frac{0.5}{0.05} = \sqrt{k_g} \)
\( 10 = \sqrt{k_g} \Rightarrow k_g = 100 \)

4. स्थिर अवस्था शर्त से s_g:
\( s_g \cdot \sqrt{k_g} = (n+δ) k_g \)
\( s_g \cdot 10 = 0.05 \times 100 \)
\( s_g \cdot 10 = 5 \Rightarrow s_g = 0.5 \)

👉 अंतिम उत्तर: \( s_g = 0.5 \) या 50%

Solow Model - बचत दर में बदलाव

प्रश्न 3: मान लीजिए s = 0.2 बढ़कर 0.3 हो जाती है।
n = 0.01, δ = 0.04, \( y = k^{0.5} \), प्रारंभिक k* = 16, y* = 4
नई स्थिर अवस्था में y* क्या होगा?

✅ पूरा समाधान:

1. स्थिर अवस्था शर्त (नई s के साथ):
\( s \cdot \sqrt{k} = (n+δ) k \)
\( 0.3 \sqrt{k} = (0.01 + 0.04) k = 0.05 k \)

2. k* निकालें:
\( \frac{0.3}{0.05} = \frac{k}{\sqrt{k}} \Rightarrow 6 = \sqrt{k} \Rightarrow k^{*} = 36 \)

3. y* निकालें:
\( y^{*} = \sqrt{36} = 6 \)

👉 अंतिम उत्तर: \( y^{*} = 6 \)

Solow Model - अभिसरण की गति

प्रश्न 4: एक देश की वर्तमान y = 2, steady-state y* = 8,
समायोजन गति λ = 0.05 प्रति वर्ष।
10 वर्ष बाद y कितना होगा?

✅ पूरा समाधान:

1. अभिसरण सूत्र: \( y(t) = y^{*} + (y(0) - y^{*}) e^{-λ t} \)

2. मान रखें:
\( y(10) = 8 + (2 - 8) e^{-0.05 \times 10} = 8 - 6 e^{-0.5} \)

3. गणना: \( e^{-0.5} \approx 0.6065 \)
\( y(10) = 8 - 6 \times 0.6065 = 8 - 3.639 = 4.361 \)

👉 अंतिम उत्तर: \( y(10) \approx 4.36 \)

Solow Model - तकनीकी प्रगति सहित

प्रश्न 5: मान लीजिए तकनीकी प्रगति दर g = 0.02,
n = 0.01, δ = 0.03, s = 0.24,
\( Y = K^{0.5}(AL)^{0.5} \)
प्रति प्रभावी श्रमिक स्थिर अवस्था आउटपुट (ỹ*) ज्ञात करें।

✅ पूरा समाधान:

1. प्रति प्रभावी श्रमिक चर:
\( \tilde{y} = \frac{Y}{AL}, \quad \tilde{k} = \frac{K}{AL} \)
उत्पादन फलन: \( \tilde{y} = \tilde{k}^{0.5} \)

2. स्थिर अवस्था शर्त (तकनीकी प्रगति सहित):
\( s \cdot \tilde{y} = (n + g + δ) \tilde{k} \)
\( 0.24 \cdot \tilde{k}^{0.5} = (0.01 + 0.02 + 0.03) \tilde{k} = 0.06 \tilde{k} \)

3. हल:
\( \frac{0.24}{0.06} = \frac{\tilde{k}}{\tilde{k}^{0.5}} \Rightarrow 4 = \tilde{k}^{0.5} \)
\( \tilde{y}^{*} = \tilde{k}^{0.5} = 4 \)

👉 अंतिम उत्तर: \( \tilde{y}^{*} = 4 \)

📌 भाग 2: Harrod-Domar Model

Harrod-Domar - बचत दर

प्रश्न 6: यदि आय की वृद्धि दर 8% है और पूंजी-आउटपुट अनुपात 4 है, तो बचत दर क्या होगी?
(a) 8%    (b) 16%    (c) 32%    (d) 64%

✅ पूरा समाधान:

हैरोड-डोमर सूत्र: \( g = \frac{s}{\theta} \Rightarrow s = g \times \theta \)
\( s = 8\% \times 4 = 32\% \)

👉 अंतिम उत्तर: (c) 32%

Harrod-Domar - ICOR ज्ञात करना

प्रश्न 7: भारत में 1980-1990 के दौरान, वास्तविक GDP वार्षिक 5.8% की दर से बढ़ी, जबकि निवेश GDP का 23.1% था। इस अवधि के लिए ICOR क्या था?

✅ पूरा समाधान:

सूत्र: \( \theta = \frac{s}{g} \)
\( \theta = \frac{23.1\%}{5.8\%} = \frac{0.231}{0.058} \approx 3.9828 \approx 4.0 \)

👉 अंतिम उत्तर: लगभग 4.0

Harrod-Domar - आवश्यक ICOR

प्रश्न 8: एक सरकार 4% की वृद्धि दर हासिल करना चाहती है। बचत दर 14% है। यदि ICOR 5 है, तो क्या 4% वृद्धि संभव है? यदि नहीं, तो कितना ICOR आवश्यक है?

✅ पूरा समाधान:

वर्तमान वृद्धि दर: \( g = \frac{s}{\theta} = \frac{14\%}{5} = 2.8\% \) (4% से कम, इसलिए लक्ष्य अभी संभव नहीं)

लक्ष्य के लिए आवश्यक ICOR: \( \theta_{required} = \frac{s}{g_{target}} = \frac{14\%}{4\%} = 3.5 \)

👉 अंतिम उत्तर: 4% वृद्धि संभव नहीं है; ICOR 3.5 होना चाहिए।

Harrod-Domar - अभीष्ट बचत दर

प्रश्न 9: इंडोनेशिया में 1970 के दशक में ICOR औसतन 2.5 था। 8% की वार्षिक वृद्धि दर प्राप्त करने के लिए कितनी बचत दर आवश्यक थी?

✅ पूरा समाधान:

सूत्र: \( s = g \times \theta = 8\% \times 2.5 = 20\% \)

👉 अंतिम उत्तर: 20%

📌 भाग 3: UGC NET विशेष – Solow एवं Harrod-Domar सैद्धांतिक PYQ

UGC NET July 2018

प्रश्न 10: सोलो के विकास मॉडल में, प्रति व्यक्ति निर्गत (Output per capita) किसका फलन होता है?
(a) पूंजी स्टॉक    (b) श्रम बल    (c) तकनीकी ज्ञान    (d) पूंजी-श्रम अनुपात

✅ पूरा समाधान:

Solow मॉडल में: \( Y = F(K, L) \), प्रति व्यक्ति: \( y = Y/L = F(K/L, 1) = f(k) \) जहाँ \( k = K/L \) = पूंजी-श्रम अनुपात।

👉 अंतिम उत्तर: (d) पूंजी-श्रम अनुपात

UGC NET 2018

प्रश्न 11: सोलो मॉडल के अनुसार, संतुलन की स्थिति में क्या नहीं बदलता है?
(a) उत्पादन    (b) उपभोग    (c) पूंजी-श्रम अनुपात    (d) पूंजी स्टॉक

✅ पूरा समाधान:

स्थिर अवस्था (steady state) में \( \Delta k = 0 \) अर्थात \( k = K/L \) स्थिर रहता है। Y और K बढ़ सकते हैं, लेकिन k नहीं।

👉 अंतिम उत्तर: (c) पूंजी-श्रम अनुपात

UGC NET Dec 2019

प्रश्न 12: निम्नलिखित में से किस मॉडल में 'नाइफ-एज' समस्या होती है?
(a) काल्डोर    (b) सोलो    (c) हैरोड    (d) स्वान

✅ पूरा समाधान:

हैरोड-डोमर मॉडल में वांछित (Gw), वास्तविक (G) और प्राकृतिक (Gn) वृद्धि दरों का बिल्कुल बराबर होना आवश्यक है। थोड़ा-सा विचलन भी मुद्रास्फीति या मंदी लाता है – इसे ‘नाइफ-एज’ समस्या कहते हैं। Solow मॉडल में यह समस्या नहीं होती।

👉 अंतिम उत्तर: (c) हैरोड

UGC NET Dec 2018

प्रश्न 13: हैरोड का विकास मॉडल निम्नलिखित है:
\[ \begin{array}{ll} \mathrm{S}_{\mathrm{t}} = \alpha \mathrm{Y}_{\mathrm{t}} & 0<\alpha<1 \\ \mathrm{I}_{\mathrm{t}} = \beta[\mathrm{Y}_{\mathrm{t}}-\mathrm{Y}_{\mathrm{t}-1}] & \beta>0 \\ \mathrm{S}_{\mathrm{t}} = \mathrm{I}_{\mathrm{t}} & \end{array} \] इस मॉडल में आर्थिक विकास के लिए शर्त क्या है?
(a) \(\frac{\beta}{\beta-\alpha}>1\)    (b) \(\frac{\alpha}{\beta-\alpha}>1\)    (c) \(\frac{\beta}{\alpha}>1\)    (d) \(\frac{\alpha}{\beta}>1\)

✅ पूरा समाधान:

यह हैरोड मॉडल में स्थिर अवस्था संतुलन (steady-state equilibrium) के लिए स्थिरता की शर्त है। यदि यह शर्त पूरी होती है, तो अर्थव्यवस्था संतुलन की ओर अभिसरण करती है।

👉 अंतिम उत्तर: (a) \(\frac{\beta}{\beta-\alpha}>1\)

UGC NET 30 Sept 2020

प्रश्न 14: हैरोड-डोमर मॉडल के अनुसार, सकल घरेलू उत्पाद की वृद्धि दर किस पर निर्भर करती है?
A. प्रत्यक्ष रूप से राष्ट्रीय निवल बचत दर पर
B. व्युत्क्रम रूप से राष्ट्रीय पूंजी-निर्गत अनुपात पर
C. प्रत्यक्ष रूप से औद्योगिक वृद्धि पर
D. व्युत्क्रम रूप से कृषि वृद्धि पर
सही कूट चुनिए: (a) A और C    (b) B और D    (c) A और B    (d) C और D

✅ पूरा समाधान:

हैरोड-डोमर मॉडल में वृद्धि दर = बचत दर / पूंजी-आउटपुट अनुपात। अतः यह बचत दर से प्रत्यक्ष और पूंजी-आउटपुट अनुपात से व्युत्क्रम रूप से संबंधित है।

👉 अंतिम उत्तर: (c) A और B

UGC NET 7 Jan 2026 Shift 1

प्रश्न 15: सूची-I को सूची-II से सुमेलित करें:

सूची-I (अर्थशास्त्री)	सूची-II (अवधारणा)
A. हैरोड और डोमर	I. पूंजी-आउटपुट अनुपात की स्थिरता
B. लुकास और रोमर	II. पूंजीवादी और गैर-पूंजीवादी क्षेत्र वाली दोहरी अर्थव्यवस्था
C. आर्थर लुईस	III. निवेश एक दोधारी तलवार के रूप में
D. माइकल टोडारो	IV. ग्रामीण-शहरी प्रवासन

कूट:
(a) A-I, B-III, C-II, D-IV    (b) A-III, B-I, C-II, D-IV    (c) A-II, B-IV, C-I, D-III    (d) A-IV, B-II, C-III, D-I

✅ पूरा समाधान:

हैरोड-डोमर मॉडल में निवेश की दोधारी भूमिका (आय सृजन और उत्पादन क्षमता दोनों) – (A-III)
लुकास और रोमर (अंतर्जात विकास) पूंजी-आउटपुट अनुपात की स्थिरता – (B-I)
आर्थर लुईस – दोहरी अर्थव्यवस्था – (C-II)
माइकल टोडारो – ग्रामीण-शहरी प्रवासन – (D-IV)

👉 अंतिम उत्तर: (b) A-III, B-I, C-II, D-IV

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