Probability numerical

📊 UGC NET Economics – Probability, Permutation, Combination, Binomial, Poisson, Normal
(पूर्ण संकलन · सूत्र · समाधान · Mean/Median/Mode)

✅ सभी प्रश्न, समाधान एवं सूत्र यथावत संकलित हैं। एक भी शब्द नहीं हटाया गया। सूत्र LaTeX में दिए गए हैं।

📌 भाग 1: Permutation & Combination (क्रमचय और संचय)

🔹 प्रश्न 1: संतान वाला सवाल (Combination)

प्रश्न: एक परिवार में 3 बच्चे हैं। कितने तरीकों से 2 लड़के और 1 लड़की हो सकते हैं?

(a) 1    (b) 2    (c) 3    (d) 6

✅ हल: यहाँ Order मायने नहीं रखता, सिर्फ Selection है। 3 बच्चों में से 2 लड़के चुनने हैं।
\[ ^3C_2 = \frac{3!}{2! \times 1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]
तरीके: (BBG, BGB, GBB) → उत्तर: (c) 3

🔹 प्रश्न 2: बल्ब वाला सवाल (Combination)

प्रश्न: 10 बल्बों में 4 खराब हैं। बिना प्रतिस्थापन के 3 बल्ब निकाले जाएँ। 3 बल्बों के खराब होने के तरीकों की संख्या क्या है?

(a) 1    (b) 2    (c) 3    (d) 4

✅ हल: 4 खराब बल्बों में से 3 का चयन करना है।
\[ ^4C_3 = \frac{4!}{3! \times 1!} = 4 \] उत्तर: (d) 4

🔹 प्रश्न 3: अध्यक्ष-सचिव वाला सवाल (Permutation)

प्रश्न: 5 सदस्यों में से एक अध्यक्ष और एक सचिव कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

(a) 10    (b) 20    (c) 25    (d) 120

✅ हल: यहाँ Order मायने रखता है (अध्यक्ष और सचिव अलग पद हैं)।
\[ P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20 \] उत्तर: (b) 20

📌 भाग 2: Binomial Distribution (द्विपद वितरण)

🔹 प्रश्न 4: Binomial Distribution का सूत्र [UGC NET 2019, 21 June]

प्रश्न: Binomial Distribution में n परीक्षणों में x सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र क्या है?

(a) \( P(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \)   (b) \( P(x) = ^nC_x p^x q^{n-x} \)   (c) \( P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2\sigma^2} \)   (d) \( P(x) = \frac{n!}{(n-x)!} \)

✅ हल: (a) Poisson, (b) Binomial, (c) Normal, (d) Permutation → उत्तर: (b)

🔹 प्रश्न 5: सिक्का उछाल वाला सवाल (Binomial Application)

प्रश्न: एक सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। ठीक 3 बार Head आने की प्रायिकता क्या है?

(a) 1/16   (b) 1/4   (c) 3/8   (d) 1/2

✅ हल: n=4, x=3, p=1/2, q=1/2
\( P(X=3) = ^4C_3 \times (1/2)^3 \times (1/2)^{1} = 4 \times 1/8 \times 1/2 = 1/4 \) → उत्तर: (b) 1/4

🔹 प्रश्न 6: Binomial Distribution की शर्तें [UGC NET 2022, Shift 2]

प्रश्न: निम्नलिखित में से कौन Binomial Distribution के लिए सही शर्त है?

(a) प्रत्येक Trial में सफलता की प्रायिकता बदलती रहती है   (b) Trials एक-दूसरे पर निर्भर होते हैं   (c) Trials की संख्या n अनंत होती है   (d) प्रत्येक Trial में केवल दो Outcomes होते हैं (Success/Failure)

✅ हल: Binomial की शर्तें: n fixed, Independent trials, p constant, केवल दो outcomes → उत्तर: (d)

📌 भाग 3: Poisson Distribution (विष वितरण)

🔹 प्रश्न 7: Poisson Distribution का सूत्र

प्रश्न: Poisson Distribution का प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) क्या है?

(a) \( ^nC_x p^x q^{n-x} \)   (b) \( \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \)   (c) \( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2 / 2\sigma^2} \)   (d) \( \frac{n!}{(n-x)!} \)

✅ हल: (b) → Poisson → उत्तर: (b)

🔹 प्रश्न 8: Poisson का Mean और Variance

प्रश्न: Poisson Distribution में Mean और Variance के बीच क्या संबंध है?

(a) Mean > Variance   (b) Mean < Variance   (c) Mean = Variance   (d) Mean = (Variance)^2

✅ हल: Mean = λ, Variance = λ → Mean = Variance → उत्तर: (c)

🔹 प्रश्न 9: Coefficient of Variation (Poisson) [UGC NET 2023, Commerce]

प्रश्न: Poisson Distribution के लिए Coefficient of Variation (CV) का सूत्र क्या है?

(a) λ   (b) √λ   (c) 1/λ   (d) 1/√λ

✅ हल: CV = SD/Mean = √λ / λ = 1/√λ → उत्तर: (d)

📌 भाग 4: Probability (प्रायिकता) - Basic Numericals

🔹 प्रश्न 10: परिवार वाला सवाल (Classic Question) [UGC NET 2021]

प्रश्न: 3 बच्चों वाले परिवार में 2 लड़के और 1 लड़की होने की प्रायिकता क्या है? (लड़का और लड़की होने की संभावना बराबर है)

(a) 1/8   (b) 1/4   (c) 3/8   (d) 1/2

✅ हल: कुल संभावनाएँ = 2³ = 8, अनुकूल = 3 (BBG, BGB, GBB) → प्रायिकता = 3/8
वैकल्पिक (Binomial): \( ^3C_2 \times (1/2)^2 \times (1/2)^1 = 3/8 \) → उत्तर: (c) 3/8

🔹 प्रश्न 11: बिना प्रतिस्थापन वाला सवाल

प्रश्न: एक थैले में 5 लाल और 3 हरी गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के 2 गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों लाल होने की प्रायिकता क्या है?

(a) 5/14   (b) 5/28   (c) 25/64   (d) 15/56

✅ हल: विधि 1: \( \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \)
विधि 2 (Combination): \( \frac{^5C_2}{^8C_2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \) → उत्तर: (a) 5/14

🔹 प्रश्न 12: गेंद निकालने वाला प्रश्न (Conditional Probability)

प्रश्न: 10 बल्बों में 4 खराब हैं। बिना प्रतिस्थापन के 3 बल्ब निकाले जाते हैं। सभी खराब होने की प्रायिकता क्या है?

(a) 1/20   (b) 1/30   (c) 1/40   (d) 1/50

✅ हल: \( \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30} \) या \( \frac{^4C_3}{^{10}C_3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \) → उत्तर: (b) 1/30

📌 भाग 5: Mutual Exclusive & Independent Events

🔹 प्रश्न 13: टिकट वाला प्रश्न

प्रश्न: 1 से 20 तक के टिकट में से एक टिकट यादृच्छिक निकाला जाता है। वह 2 या 5 का multiple होने की प्रायिकता क्या है?

(a) 0.2   (b) 0.4   (c) 0.6   (d) 0.8

✅ हल: P(2) = 10/20, P(5) = 4/20, P(2 और 5) = 2/20 → P(2 या 5) = 10/20 + 4/20 - 2/20 = 12/20 = 0.6 → उत्तर: (c) 0.6

📌 भाग 6: सभी Distributions के Mean, Median, Mode के सूत्र (विस्तृत)

1. Binomial Distribution (द्विपद वितरण)

माप (Measure)	सूत्र (Formula)	टिप्पणी
Mean (माध्य)	\( \mu = np \)	n × p
Variance (प्रसरण)	\( \sigma^2 = npq \)	q = 1-p
Standard Deviation (SD)	\( \sigma = \sqrt{npq} \)
Mode (बहुलक)	\( (n+1)p \)	सबसे अधिक बार आने वाला मान
Median (माध्यिका)	\( np \pm 0.5 \) के आसपास	कोई fixed सूत्र नहीं, Mean और Mode के बीच

📌 UGC NET ट्रिक: यदि p = q = 0.5, तो Binomial Distribution सममित (symmetric) होता है। तब Mean = Median = Mode = n/2.

2. Poisson Distribution (विष वितरण)

माप (Measure)	सूत्र (Formula)	टिप्पणी
Mean (माध्य)	\( \mu = \lambda \)	सबसे महत्वपूर्ण
Variance (प्रसरण)	\( \sigma^2 = \lambda \)	Mean = Variance (Poisson की पहचान)
Standard Deviation (SD)	\( \sigma = \sqrt{\lambda} \)
Mode (बहुलक)	\( \lambda \) के निकटतम पूर्णांक	यदि λ पूर्णांक है, तो Mode = λ और λ-1 दोनों
Median (माध्यिका)	लगभग \( \lambda + 1/3 - 0.02/\lambda \)	अनुमानित; λ के बढ़ने पर Median → λ

📌 UGC NET ट्रिक: यदि Mean और Variance बराबर हों → Distribution Poisson है। यदि Mode = λ (या λ-1) → Poisson है।

3. Normal Distribution (सामान्य वितरण)

माप (Measure)	सूत्र (Formula)	टिप्पणी
Mean (माध्य)	\( \mu \)	केन्द्र बिंदु
Variance (प्रसरण)	\( \sigma^2 \)
Standard Deviation (SD)	\( \sigma \)
Mode (बहुलक)	\( \mu \)	Mean = Median = Mode
Median (माध्यिका)	\( \mu \)	Mean के बराबर

📌 Relation (महत्वपूर्ण): Normal Distribution में Mean = Median = Mode हमेशा।

📊 तुलना तालिका (Quick Comparison)

Distribution	Mean	Variance	Mean = Variance?	Mean = Median?	Mean = Mode?
Binomial	np	npq	नहीं (जब तक p=1/2 न हो)	केवल p=1/2 पर	केवल p=1/2 पर
Poisson	λ	λ	हाँ (पहचान)	लगभग (λ बड़ा होने पर)	λ के निकट
Normal	μ	σ²	नहीं	हाँ	हाँ

🔥 UGC NET के लिए महत्वपूर्ण उदाहरण (Mean, Median, Mode पर)

उदाहरण 1: Binomial Distribution

प्रश्न: एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है। Mean, Median और Mode ज्ञात करें।

हल: n=10, p=0.5, q=0.5
Mean = np = 5, Variance = 2.5, SD ≈1.58, Mode = (n+1)p = 5.5 → निकटतम पूर्णांक = 5 या 6, Median = 5 (Mean के बराबर, p=0.5)

उदाहरण 2: Poisson Distribution

प्रश्न: एक कॉल सेंटर को प्रति घंटे औसतन 4 कॉल आते हैं। Mean, Variance, Mode, Median बताएँ।

हल: λ=4 → Mean=4, Variance=4, SD=2, Mode: λ पूर्णांक → Mode=4 और 3, Median ≈ λ + 1/3 - 0.02/λ = 4.328 (अनुमानित)

उदाहरण 3: Normal Distribution (PYQ Type)

प्रश्न: यदि Mean = 50, Variance = 25, तो Median और Mode क्या होंगे?

हल: Normal में Mean=Median=Mode → Median = 50, Mode = 50

📌 UGC NET में पूछे गए संबंधित प्रश्न (Mean, Median, Mode से)

वर्ष	प्रश्न	संबंधित सूत्र
2021	Poisson Distribution में Mean = 4 → Variance?	Variance = Mean = 4
2022	Binomial में n=10, p=0.4 → Mode?	Mode = (n+1)p = 4.4 → 4
2023	Normal Distribution में Mean = Median का संबंध?	Mean = Median = Mode
2020	Poisson CV = 1/√λ, λ=9 → CV?	CV = 1/√9 = 1/3 = 0.333

✅ अंतिम सारांश (एक लाइन में याद रखें)
1. Binomial: Mean = np, Variance = npq, Mode ≈ (n+1)p
2. Poisson: Mean = Variance = λ, Mode = λ या λ-1, CV = 1/√λ
3. Normal: Mean = Median = Mode, Variance = σ²

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📚 पूर्ण संकलन - सभी प्रश्न, हल, सूत्र एवं उदाहरण यथावत् शामिल हैं।
कोई भी शब्द नहीं हटाया गया। LaTeX गणितीय निरूपण हेतु MathJax प्रयुक्त।

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