Differentiation
अवकलन (Differentiation) के सभी सूत्र
प्रश्न एवं पूर्ण हल सहित
प्रत्येक सूत्र के लिए: सूत्र → प्रश्न → हल (दो-दो उदाहरण)
1. \(\frac{d}{dx}(c) = 0\)
\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(8)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(8) = 0\) (अचर का अवकलन शून्य होता है)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \ln 5 - \frac{\pi}{2} + \sqrt{7} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: सभी पद अचर हैं: \(\ln 5, \frac{\pi}{2}, \sqrt{7}\)। \(\frac{d}{dx}(\ln 5) = 0\), \(\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), \(\frac{d}{dx}(\sqrt{7}) = 0\)। अतः उत्तर \(0 - 0 + 0 = 0\)
2. \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\)
\(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(x^6)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(x^6) = 6x^{5}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( x^{\sqrt{3}} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}\left( x^{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3} - 1}\)
3. \(\frac{d}{dx}(c \cdot u) = c \cdot \frac{du}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}(c \cdot u) = c \cdot \frac{du}{dx}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(9x^4)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(9 \cdot \frac{d}{dx}(x^4) = 9 \cdot 4x^3 = 36x^3\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3} \cos x \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = \frac{2}{3} \cdot (-\sin x) = -\frac{2}{3} \sin x\)
4. \(\frac{d}{dx}(u+v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}(u+v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(x^3 + x^5)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^5) = 3x^2 + 5x^4\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \tan x + e^{2x} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(e^{2x}) = \sec^2 x + 2e^{2x}\)
5. \(\frac{d}{dx}(u-v) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}(u-v) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(x^7 - x^3)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(x^7) - \frac{d}{dx}(x^3) = 7x^6 - 3x^2\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \sqrt{x} - \ln x \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{d}{dx}(x^{1/2}) - \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x}\)
6. गुणन नियम: \(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(x^3 \cos x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u = x^3, v = \cos x\); \(\frac{du}{dx} = 3x^2, \frac{dv}{dx} = -\sin x\); \(x^3(-\sin x) + \cos x (3x^2) = -x^3 \sin x + 3x^2 \cos x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( e^{2x} \ln x \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u = e^{2x}, v = \ln x\); \(\frac{du}{dx} = 2e^{2x}, \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\); \(e^{2x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 2e^{2x} = \frac{e^{2x}}{x} + 2e^{2x} \ln x\)
7. भाग नियम: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(\frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin x}{x} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u = \sin x, v = x\); \(\frac{du}{dx} = \cos x, \frac{dv}{dx} = 1\); \(\frac{x \cdot \cos x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x}{\cos x} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u = e^x, v = \cos x\); \(\frac{du}{dx} = e^x, \frac{dv}{dx} = -\sin x\); \(\frac{\cos x \cdot e^x - e^x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{\cos^2 x}\)
8. \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\sin 3x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: श्रृंखला नियम से: \(\cos(3x) \cdot 3 = 3 \cos 3x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \sin(\ln x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln x)}{x}\)
9. \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\cos 5x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\sin(5x) \cdot 5 = -5 \sin 5x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \cos(e^{3x}) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\sin(e^{3x}) \cdot e^{3x} \cdot 3 = -3e^{3x} \sin(e^{3x})\)
10. \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)
\(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\tan 2x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sec^2(2x) \cdot 2 = 2 \sec^2 2x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \tan(\sqrt{x}) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)
11. \(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\)
\(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\cot 4x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\csc^2(4x) \cdot 4 = -4 \csc^2 4x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \cot(x^2+1) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\csc^2(x^2+1) \cdot 2x = -2x \csc^2(x^2+1)\)
12. \(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
\(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\sec 3x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sec(3x) \tan(3x) \cdot 3 = 3 \sec 3x \tan 3x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \sec(2^x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\sec(2^x) \tan(2^x) \cdot 2^x \ln 2\)
13. \(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
\(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\csc 2x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\csc(2x) \cot(2x) \cdot 2 = -2 \csc 2x \cot 2x\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \csc(x^3) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\csc(x^3) \cot(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \csc(x^3) \cot(x^3)\)
14. \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} 4x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \sin^{-1}(x^2) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
15. \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} 5x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}} \cdot 5 = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \cos^{-1}(e^x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \cdot e^x = -\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
16. \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 3x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \tan^{-1}(\ln x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{1+(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x(1+(\ln x)^2)}\)
17. \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} 2x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 = -\frac{2}{1+4x^2}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \cot^{-1}(x^2) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{1+x^4}\)
18. \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} 4x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{|4x|\sqrt{(4x)^2-1}} \cdot 4 = \frac{4}{4|x|\sqrt{16x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{16x^2-1}}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \sec^{-1}(x^3) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{|x^3|\sqrt{x^6-1}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{|x^3|\sqrt{x^6-1}}\)
19. \(\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\(\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\csc^{-1} 3x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{|3x|\sqrt{9x^2-1}} \cdot 3 = -\frac{3}{3|x|\sqrt{9x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{9x^2-1}}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \csc^{-1}(e^{2x}) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(-\frac{1}{|e^{2x}|\sqrt{e^{4x}-1}} \cdot 2e^{2x} = -\frac{2e^{2x}}{e^{2x}\sqrt{e^{4x}-1}} = -\frac{2}{\sqrt{e^{4x}-1}}\)
20. \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(e^{5x})\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( e^{\tan x} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(e^{\tan x} \cdot \sec^2 x\)
21. \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)
\(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(3^x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(3^x \ln 3\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( 10^{\sin x} \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(10^{\sin x} \ln 10 \cdot \cos x\)
22. \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
\(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\ln 7x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\ln 7x = \ln 7 + \ln x \Rightarrow 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \ln(x^3+2x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{x^3+2x} \cdot (3x^2+2) = \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\)
23. \(\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\)
\(\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\)
प्रश्न 1: \(\frac{d}{dx}(\log_5 x)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{x \ln 5}\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(\frac{d}{dx}\left( \log_{10} (\cos x) \right)\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(\frac{1}{\cos x \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\tan x}{\ln 10}\)
24. श्रृंखला नियम: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
प्रश्न 1: \(y = (3x+2)^8\) का \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल: \(u = 3x+2, y = u^8\); \(\frac{dy}{du} = 8u^7, \frac{du}{dx} = 3\); \(\frac{dy}{dx} = 8(3x+2)^7 \cdot 3 = 24(3x+2)^7\)
प्रश्न 2 (कठिन): \(y = \sin^2(5x)\) का \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल: पहली विधि: \(u = \sin(5x), y = u^2\); \(\frac{dy}{du} = 2u, \frac{du}{dx} = \cos(5x) \cdot 5\); \(\frac{dy}{dx} = 2\sin(5x) \cdot 5\cos(5x) = 10 \sin(5x) \cos(5x)\) या \(5 \sin(10x)\)
नोट: उपरोक्त सभी अवकलन सूत्र एवं उदाहरण पूर्ण रूप से प्रस्तुत हैं। कोई भी शब्द/सूत्र नहीं हटाया गया है।
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