11 सूत्रों की विस्तृत जानकारी 🔹 प्रसरण · मानक विचलन · विचरण गुणांक 🔹

```html

📐 सभी 11 सूत्रों की विस्तृत जानकारी

🔹 प्रसरण · मानक विचलन · विचरण गुणांक 🔹

🔰 परिभाषाएँ (कौन क्या है?)

माप (Measure)	क्या कहते हैं? (Hindi)	परिभाषा
Variance (σ²)	प्रसरण	माध्य से दूरियों के वर्गों का औसत, बिखराव की मात्रा।
Standard Deviation (σ)	मानक विचलन	प्रसरण का वर्गमूल, मूल इकाई में बिखराव।
Coefficient of Variation (CV)	विचरण गुणांक	मानक विचलन को माध्य से भाग देकर प्रतिशत में, सापेक्ष तुलना के लिए।
Poisson CV	पॉइसन विचरण गुणांक	पॉइसन वितरण में CV = (1/√λ)×100
Combined Mean	सम्मिलित माध्य	दो या अधिक समूहों का कुल माध्य।
Combined Variance	सम्मिलित प्रसरण	दो समूहों को मिलाकर निकाला गया कुल प्रसरण।
Correlation Coefficient (r)	सहसंबंध गुणांक	दो चरों के बीच रैखिक संबंध की दिशा और ताकत।
Additive Property (Var)	योगात्मक गुण	यदि y = a + bx, तो Var(y) = b² × Var(x)
SD relation for linear transformation	रेखीय रूपांतरण में SD	SD(y) = |b| × SD(x)
Population Variance	जनसंख्या प्रसरण	पूरे जनसंख्या डेटा के लिए प्रसरण (हर N)
Sample Variance	नमूना प्रसरण	नमूने के लिए प्रसरण (हर n-1, Bessel का सुधार)

1. जनसंख्या प्रसरण (Population Variance)

📌 सूत्र: \(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} = \frac{\sum x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum x_i}{N}\right)^2\)

🔧 उपयोग: जब हमारे पास पूरी जनसंख्या का डेटा हो, तब उसके बिखराव को मापने के लिए।

📘 उदाहरण: मान: 2, 4, 6, 8
N = 4, Σx = 20, μ = 5, Σx² = 120
σ² = (120/4) - (5)² = 30 - 25 = 5

2. नमूना प्रसरण (Sample Variance)

📌 सूत्र: \(s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}\)

🔧 उपयोग: जब हम नमूने से जनसंख्या के प्रसरण का अनुमान लगाना चाहते हैं। n-1 से भाग करने पर अनुमान निष्पक्ष (unbiased) होता है।

📘 उदाहरण: नमूना: 3, 5, 7 (n=3, x̄=5)
Σ(xi - x̄)² = 4+0+4 = 8
s² = 8/(3-1) = 4

3. मानक विचलन (Standard Deviation)

📌 सूत्र: \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

🔧 उपयोग: बिखराव को डेटा की मूल इकाई में व्यक्त करने के लिए। प्रसरण से अधिक व्याख्यायोग्य।

📘 उदाहरण: यदि प्रसरण = 25, तो σ = √25 = 5

4. विचरण गुणांक (Coefficient of Variation - CV)

📌 सूत्र: \(CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100\)

🔧 उपयोग: विभिन्न इकाइयों (जैसे kg और cm) या विभिन्न माध्य वाले डेटा के बिखराव की तुलना करने के लिए। सापेक्ष बिखराव मापता है।

📘 उदाहरण: मान लीजिए माध्य = 50, σ = 10
CV = (10/50)×100 = 20%

5. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन

📌 सूत्र: \(\sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}\)

🔧 उपयोग: जब डेटा 1, 2, 3, ..., n हो, तो सीधे मानक विचलन निकालने के लिए। गणना का लंबा तरीका बचाता है।

📘 उदाहरण: n = 10
σ = √[(100 - 1)/12] = √(99/12) = √8.25 ≈ 2.872

6. पॉइसन वितरण में CV

📌 सूत्र: \(CV = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \times 100\)

🔧 उपयोग: पॉइसन वितरण में माध्य = λ, प्रसरण = λ, इसलिए यह सूत्र सीधे CV देता है। अक्सर परीक्षा में λ दिया होता है।

📘 उदाहरण: λ = 16
CV = (1/√16)×100 = (1/4)×100 = 25%

7. सम्मिलित माध्य (Combined Mean)

📌 सूत्र: \(\bar{X}_c = \frac{n_1\bar{X}_1 + n_2\bar{X}_2}{n_1 + n_2}\)

🔧 उपयोग: दो या अधिक समूहों के डेटा को मिलाकर कुल माध्य ज्ञात करने के लिए।

📘 उदाहरण: n₁=40, X̄₁=60; n₂=60, X̄₂=70
X̄_c = (40×60 + 60×70) / (40+60) = (2400+4200)/100 = 66

8. सम्मिलित प्रसरण (Combined Variance)

📌 सूत्र: \(\sigma_c^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}\)   जहाँ \(d_i = \bar{X}_i - \bar{X}_c\)

🔧 उपयोग: दो समूहों को मिलाने पर उनके संयुक्त प्रसरण की गणना के लिए।

📘 उदाहरण: n₁=30, X̄₁=40, σ₁=5; n₂=20, X̄₂=50, σ₂=6
X̄_c = 44, d₁²=16, d₂²=36
σ_c² = [30(25+16) + 20(36+36)] / 50 = (1230+1440)/50 = 53.4

9. सहसंबंध गुणांक (Correlation Coefficient - r)

📌 सूत्र: \(r = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x \cdot \sigma_y}\)

🔧 उपयोग: दो चरों के बीच रैखिक संबंध की दिशा (+/-) और ताकत (-1 से 1) मापने के लिए।

📘 उदाहरण: Cov = 24, σx = 4, σy = 6
r = 24 / (4×6) = 24/24 = 1 (पूर्ण धनात्मक सहसंबंध)

10. योगात्मक गुण – प्रसरण पर (Additive Property for Variance)

📌 सूत्र: \(\text{Var}(a + bx) = b^2 \times \text{Var}(x)\)

🔧 उपयोग: जब हम चर में स्थिरांक जोड़ते/घटाते हैं या गुणा/भाग करते हैं तो नए चर का प्रसरण जल्दी निकालने के लिए। नोट: a जोड़ने से प्रसरण नहीं बदलता, केवल b का वर्ग गुणा होता है।

📘 उदाहरण: Var(x) = 9, तो Var(3x+2) = 3² × 9 = 9 × 9 = 81

11. रेखीय रूपांतरण में मानक विचलन (SD for Linear Transformation)

📌 सूत्र: \(SD(y) = |b| \times SD(x), \quad \text{जहाँ } y = a + bx\)

🔧 उपयोग: यदि x को b से गुणा करें और a जोड़ें, तो y का मानक विचलन, x के मानक विचलन का |b| गुना होता है। (a का कोई प्रभाव नहीं)

📘 उदाहरण: SD(x) = 5, y = -2x + 10
SD(y) = |-2| × 5 = 2 × 5 = 10

✅ सारांश तालिका (त्वरित पुनरावलोकन के लिए)

क्रम	सूत्र का नाम	सूत्र	मुख्य उपयोग
1	जनसंख्या प्रसरण	σ² = Σ(xi-μ)²/N	पूरे डेटा का बिखराव
2	नमूना प्रसरण	s² = Σ(xi-x̄)²/(n-1)	जनसंख्या का अनुमान
3	मानक विचलन	σ = √σ²	मूल इकाई में बिखराव
4	विचरण गुणांक (CV)	CV = (σ/x̄)×100	सापेक्ष तुलना
5	प्रथम n का SD	√[(n²-1)/12]	प्राकृत संख्याओं का SD
6	पॉइसन में CV	(1/√λ)×100	पॉइसन वितरण में CV
7	सम्मिलित माध्य	(n₁x̄₁+n₂x̄₂)/(n₁+n₂)	दो समूहों का कुल माध्य
8	सम्मिलित प्रसरण	[n₁(σ₁²+d₁²)+...]/(n₁+n₂)	दो समूहों का संयुक्त प्रसरण
9	सहसंबंध गुणांक	r = Cov/(σx·σy)	दो चरों के बीच संबंध
10	प्रसरण का योगात्मक गुण	Var(a+bx) = b²·Var(x)	रूपांतरित चर का प्रसरण
11	SD का रेखीय गुण	SD(a+bx) = |b|·SD(x)	रूपांतरित चर का SD

📌 अब यदि आप इनमें से किसी एक सूत्र पर अधिक आंकिक प्रश्न चाहते हैं, तो बता दें – मैं उसी पर 10-15 अतिरिक्त प्रश्न हल सहित दे दूंगा।

```