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📊 UGC NET Economics: संपूर्ण संख्यात्मक संग्रह

Solow ▪ Harrod-Domar ▪ Cobb-Douglas ▪ Romer ▪ Lewis ▪ Todaro
✅ प्रत्येक प्रश्न पूर्ण रूप में (विकल्प, हर शब्द) + LaTeX गणित + चरणबद्ध हल

📌 1. Solow Growth Model (सोलो विकास मॉडल)

🔢 प्रश्न 1 (स्थिर अवस्था – आउटपुट प्रति श्रमिक)

एक अर्थव्यवस्था में बचत दर (s) = 0.3, जनसंख्या वृद्धि दर (n) = 0.02, मूल्यह्रास दर (δ) = 0.05 तथा उत्पादन फलन \(Y = K^{0.3} L^{0.7}\) है। प्रति श्रमिक स्थिर अवस्था पूंजी (\(k^*\)) और प्रति श्रमिक स्थिर अवस्था आउटपुट (\(y^*\)) ज्ञात कीजिए।

📐 पूर्ण हल (step-by-step):
(1) प्रति श्रमिक उत्पादन फलन: \(y = \frac{Y}{L} = \frac{K^{0.3}L^{0.7}}{L} = \left(\frac{K}{L}\right)^{0.3} = k^{0.3}\).
(2) स्थिर अवस्था शर्त: \(\Delta k = 0 \implies s \cdot y = (n+\delta)k\).
(3) मान रखें: \(0.3 \cdot k^{0.3} = (0.02+0.05)k = 0.07k\).
(4) \( \frac{0.3}{0.07} = \frac{k}{k^{0.3}} \implies 4.2857 = k^{0.7} \implies k^{*} = (4.2857)^{1/0.7} \approx (4.2857)^{1.4286} \approx 8.16\).
(5) \(y^{*} = (k^{*})^{0.3} = (8.16)^{0.3} \approx 1.87\).

✨ अंतिम उत्तर: \(k^{*} \approx 8.16\), \(y^{*} \approx 1.87\)

🌟 प्रश्न 2 (स्वर्णिम नियम – Golden Rule Saving)

मान लीजिए उत्पादन फलन \(y = \sqrt{k}\) है, जनसंख्या वृद्धि \(n = 0.03\), पूंजी मूल्यह्रास \(\delta = 0.02\)। स्वर्णिम नियम (Golden Rule) के अनुसार पूंजी संचय के लिए बचत दर (\(s_g\)) क्या होगी?

📐 हल:
स्वर्णिम नियम: \(MPK = n + \delta\)।
\(MPK = \frac{dy}{dk} = 0.5 k^{-0.5} = \frac{0.5}{\sqrt{k}}\)।
समीकरण: \(\frac{0.5}{\sqrt{k_g}} = 0.03+0.02 = 0.05\) → \(\sqrt{k_g} = \frac{0.5}{0.05} = 10\) → \(k_g = 100\).
स्थिर अवस्था में \(s_g \cdot \sqrt{k_g} = (n+\delta)k_g\) → \(s_g \cdot 10 = 0.05 \times 100\) → \(s_g = 0.5\) (50%)।

✨ अंतिम उत्तर: \(s_g = 0.5\) या 50%

📈 प्रश्न 3 (बचत दर में बदलाव का प्रभाव)

एक अर्थव्यवस्था में प्रारंभ में s = 0.2 है, फिर यह बढ़कर 0.3 हो जाती है। \(n = 0.01\), \(\delta = 0.04\), \(y = k^{0.5}\)। प्रारंभिक स्थिर अवस्था में \(k^*=16\) तथा \(y^*=4\)। बचत दर बढ़ने के बाद नई स्थिर अवस्था में प्रति श्रमिक आउटपुट (\(y^*_{\text{new}}\)) क्या होगा?

📐 हल:
नई बचत दर s = 0.3 के साथ स्थिर अवस्था: \(0.3\sqrt{k} = (0.01+0.04)k = 0.05k\)।
\(\frac{0.3}{0.05} = \frac{k}{\sqrt{k}} \implies 6 = \sqrt{k} \implies k^{*}_{\text{new}} = 36\).
अतः \(y^{*}_{\text{new}} = \sqrt{36} = 6\).

✨ नया स्थिर-अवस्था आउटपुट: \(y^* = 6\)

⏱️ प्रश्न 4 (अभिसरण की गति)

एक देश की वर्तमान प्रति व्यक्ति आय \(y(0) = 2\) है, दीर्घकालीन स्थिर अवस्था आय \(y^* = 8\) है तथा समायोजन गति \(\lambda = 0.05\) प्रति वर्ष है। 10 वर्षों के बाद प्रति व्यक्ति आय (\(y(10)\)) कितनी होगी? (अभिसरण सूत्र \(y(t) = y^* + (y(0)-y^*)e^{-\lambda t}\) का उपयोग करें।)

📐 हल:
\(y(10) = 8 + (2-8)e^{-0.05 \times 10} = 8 - 6e^{-0.5}\)।
\(e^{-0.5} \approx 0.60653\), अतः \(y(10) = 8 - 6\times0.60653 = 8 - 3.63918 \approx 4.361\).

✨ \(y(10) \approx 4.36\)

🔄 प्रश्न 5 (तकनीकी प्रगति सहित Solow)

मान लीजिए तकनीकी प्रगति दर \(g = 0.02\), जनसंख्या वृद्धि \(n = 0.01\), मूल्यह्रास \(\delta = 0.03\), बचत दर \(s = 0.24\)। उत्पादन फलन \(Y = K^{0.5}(AL)^{0.5}\) है। प्रति प्रभावी श्रमिक स्थिर अवस्था आउटपुट (\(\tilde{y}^*\)) ज्ञात कीजिए।

📐 हल:
प्रति प्रभावी श्रमिक: \(\tilde{y} = \frac{Y}{AL} = \tilde{k}^{0.5}\)।
स्थिर अवस्था शर्त: \(s\tilde{y} = (n+g+\delta)\tilde{k}\) → \(0.24 \tilde{k}^{0.5} = (0.01+0.02+0.03)\tilde{k} = 0.06\tilde{k}\)।
\(\frac{0.24}{0.06} = \frac{\tilde{k}}{\tilde{k}^{0.5}} \implies 4 = \tilde{k}^{0.5} \implies \tilde{y}^* = 4\).

✨ \(\tilde{y}^* = 4\)

📌 2. Harrod-Domar Model (हैरोड-डोमर मॉडल)

📊 प्रश्न 6 (बचत दर)

यदि किसी अर्थव्यवस्था में आय की वृद्धि दर 8% है और पूंजी-आउटपुट अनुपात (ICOR) 4 है, तो हैरोड-डोमर मॉडल के अनुसार बचत दर क्या होगी?
(a) 8% (b) 16% (c) 32% (d) 64%

विकल्प: (a) 8% (b) 16% (c) 32% (d) 64%

हल: सूत्र \(g = \frac{s}{\theta} \implies s = g \times \theta\)।
\(s = 8\% \times 4 = 32\%\).

✅ सही विकल्प: (c) 32%

🇮🇳 प्रश्न 7 (ICOR – भारत का उदाहरण)

भारत में 1980-1990 के दौरान वास्तविक GDP वार्षिक 5.8% की दर से बढ़ी, जबकि निवेश (बचत) GDP का 23.1% था। इस अवधि के लिए पूंजी-आउटपुट अनुपात (ICOR) ज्ञात कीजिए।

\(\theta = \frac{s}{g} = \frac{0.231}{0.058} \approx 3.9828 \approx 4.0\)।

✨ उत्तर: ICOR ≈ 4.0

🎯 प्रश्न 8 (लक्ष्य वृद्धि के लिए आवश्यक ICOR)

एक सरकार 4% की वृद्धि दर प्राप्त करना चाहती है। देश में बचत दर 14% है। यदि वर्तमान ICOR = 5 है, तो क्या 4% की वृद्धि संभव है? यदि नहीं, तो कितना ICOR आवश्यक है?

वर्तमान वृद्धि \(g = \frac{14\%}{5} = 2.8\% < 4\%\), इसलिए लक्ष्य अभी असंभव।
आवश्यक ICOR = \(\frac{s}{g_{\text{target}}} = \frac{14\%}{4\%} = 3.5\).

✨ उत्तर: 4% वृद्धि संभव नहीं; ICOR = 3.5 आवश्यक।

🌏 प्रश्न 9 (अभीष्ट बचत दर)

इंडोनेशिया में 1970 के दशक में ICOR औसतन 2.5 था। यदि सरकार 8% की वार्षिक वृद्धि दर चाहती है, तो हैरोड-डोमर मॉडल के अनुसार बचत दर कितनी होनी चाहिए?

\(s = g \times \theta = 8\% \times 2.5 = 20\%\).

✨ आवश्यक बचत दर = 20%

📌 3. Cobb-Douglas Production Function (का-डगलस उत्पादन फलन)

⚙️ प्रश्न 10 (पूंजी की उत्पादन लोच)

मान लीजिए किसी अर्थव्यवस्था का उत्पादन फलन \(Y = K^{0.6}L^{0.4}\) है। यदि पूंजी स्टॉक (K) में 10% की वृद्धि होती है, तो कुल उत्पादन (Y) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
(a) 4% (b) 6% (c) 10% (d) 60%

विकल्प: (a) 4% (b) 6% (c) 10% (d) 60%

Cobb-Douglas में लोच = α = 0.6, अतः \(\frac{\Delta Y}{Y} = \alpha \cdot \frac{\Delta K}{K} = 0.6 \times 10\% = 6\%\).

✅ सही विकल्प: (b) 6%

📐 प्रश्न 11 (स्थिर पैमाने का प्रतिफल – CRS)

निम्नलिखित में से कौन-सा Cobb-Douglas उत्पादन फलन स्थिर पैमाने के प्रतिफल (Constant Returns to Scale, CRS) को दर्शाता है?
(a) \(Y = K^{0.4}L^{0.5}\) (b) \(Y = K^{0.7}L^{0.2}\) (c) \(Y = K^{0.6}L^{0.4}\) (d) \(Y = K^{0.3}L^{0.6}\)

विकल्प: (a) K^{0.4}L^{0.5} (b) K^{0.7}L^{0.2} (c) K^{0.6}L^{0.4} (d) K^{0.3}L^{0.6}

CRS के लिए घातांकों का योग 1 होना चाहिए: \(0.6+0.4=1\).

✅ सही विकल्प: (c) \(K^{0.6}L^{0.4}\)

📈 प्रश्न 12 (समानुपातिक वृद्धि)

एक अर्थव्यवस्था में उत्पादन फलन \(Y = K^{0.3}L^{0.7}\) है। यदि पूंजी और श्रम दोनों में एक साथ 5% की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में प्रतिशत वृद्धि कितनी होगी?
(a) 5% (b) 3.5% (c) 6.5% (d) 10%

विकल्प: (a) 5% (b) 3.5% (c) 6.5% (d) 10%

CRS के कारण यदि K और L दोनों x% बढ़ें तो Y भी x% बढ़ता है। अतः 5% वृद्धि।

✅ सही विकल्प: (a) 5%

📌 4. Romer Model (अंतर्जात विकास मॉडल)

🧠 प्रश्न 13 (ज्ञान स्टॉक की वृद्धि)

रोमर मॉडल (1990) में ज्ञान स्टॉक (A) का उत्पादन फलन \(\Delta A = \delta A L_A\) दिया गया है। यदि \(\delta = 0.1\) तथा अनुसंधान में लगा श्रम \(L_A = 100\) है, तो ज्ञान स्टॉक की वृद्धि दर (\(g_A\)) क्या होगी?
(a) 0.1% (b) 1% (c) 10% (d) 100%

विकल्प: (a) 0.1% (b) 1% (c) 10% (d) 100%

\(g_A = \frac{\Delta A}{A} = \delta L_A = 0.1 \times 100 = 10\%\).

✅ सही विकल्प: (c) 10%

📌 5. Lewis Model (दोहरी अर्थव्यवस्था)

🏭 प्रश्न 14 (अधिशेष श्रम की मजदूरी)

लुईस मॉडल में मान लीजिए आधुनिक क्षेत्र में मजदूरी \(W_m = 1000\) रु., परंपरागत कृषि क्षेत्र में औसत उत्पाद \(AP_a = 600\) रु. तथा न्यूनतम निर्वाह मजदूरी \(W_a = 500\) रु. है। अधिशेष श्रम की स्थिति (जब तक ग्रामीण क्षेत्र में अतिरिक्त श्रम उपलब्ध है) में आधुनिक क्षेत्र में मजदूरी कितनी होगी?
(a) 500 रु. (b) 600 रु. (c) 1000 रु. (d) 1100 रु.

विकल्प: (a) 500 रु. (b) 600 रु. (c) 1000 रु. (d) 1100 रु.

लुईस के अनुसार, अधिशेष श्रम के अवशोषण तक आधुनिक मजदूरी निर्वाह मजदूरी के निकट होती है (थोड़ा प्रीमियम सहित)। दिए गए विकल्पों में 500 रु. सबसे उपयुक्त है।

✅ सही विकल्प: (a) 500 रु.

📌 6. Todaro Model (प्रवासन मॉडल)

🚶 प्रश्न 15 (प्रवासन की न्यूनतम शहरी प्रत्याशित आय)

टोडारो मॉडल के अनुसार, शहरी क्षेत्र में रोजगार दर (रोज़गार की प्रायिकता) 80% है। ग्रामीण क्षेत्र में प्रत्याशित आय 2000 रु. प्रति माह है। प्रवासन को प्रोत्साहित करने के लिए शहरी प्रत्याशित आय कम से कम कितनी होनी चाहिए?
(a) 1600 रु. (b) 2000 रु. (c) 2400 रु. (d) 2500 रु.

विकल्प: (a) 1600 (b) 2000 (c) 2400 (d) 2500 (रुपये/माह)

प्रवासन शर्त: \(P_{\text{urban}} \times W_{\text{urban}} \ge W_{\text{rural}}\)।
\(0.8 \times W_{\text{urban}} \ge 2000 \implies W_{\text{urban}} \ge \frac{2000}{0.8} = 2500\).

✅ सही विकल्प: (d) 2500 रु.

📌 7. UGC NET सैद्धांतिक PYQs (विकल्प सहित, पूर्ण उद्धरण)

📜 UGC NET July 2018

सोलो के विकास मॉडल में, प्रति व्यक्ति निर्गत (Output per capita) किसका फलन होता है?
(a) पूंजी स्टॉक (b) श्रम बल (c) तकनीकी ज्ञान (d) पूंजी-श्रम अनुपात

उत्तर: (d) पूंजी-श्रम अनुपात

📜 UGC NET 2018 (स्थिर अवस्था)

सोलो मॉडल के अनुसार, संतुलन की स्थिति में क्या नहीं बदलता है?
(a) उत्पादन (b) उपभोग (c) पूंजी-श्रम अनुपात (d) पूंजी स्टॉक

उत्तर: (c) पूंजी-श्रम अनुपात

📜 UGC NET Dec 2019 (नाइफ-एज)

निम्नलिखित में से किस मॉडल में 'नाइफ-एज' समस्या होती है?
(a) काल्डोर (b) सोलो (c) हैरोड (d) स्वान

उत्तर: (c) हैरोड

📜 UGC NET 30 Sept 2020

हैरोड-डोमर मॉडल के अनुसार, सकल घरेलू उत्पाद की वृद्धि दर किस पर निर्भर करती है?
A. प्रत्यक्ष रूप से राष्ट्रीय निवल बचत दर पर
B. व्युत्क्रम रूप से राष्ट्रीय पूंजी-निर्गत अनुपात पर
C. प्रत्यक्ष रूप से औद्योगिक वृद्धि पर
D. व्युत्क्रम रूप से कृषि वृद्धि पर
कूट: (a) A और C (b) B और D (c) A और B (d) C और D

उत्तर: (c) A और B

📜 UGC NET 7 Jan 2026 Shift 1 (मिलान)

सूची-I (अर्थशास्त्री) को सूची-II (अवधारणा) से सुमेलित करें:
A. हैरोड और डोमर – I. पूंजी-आउटपुट अनुपात की स्थिरता
B. लुकास और रोमर – II. पूंजीवादी और गैर-पूंजीवादी क्षेत्र वाली दोहरी अर्थव्यवस्था
C. आर्थर लुईस – III. निवेश एक दोधारी तलवार के रूप में
D. माइकल टोडारो – IV. ग्रामीण-शहरी प्रवासन
कूट: (a) A-I, B-III, C-II, D-IV (b) A-III, B-I, C-II, D-IV (c) A-II, B-IV, C-I, D-III (d) A-IV, B-II, C-III, D-I

उत्तर: (b) A-III, B-I, C-II, D-IV

📜 हैरोड मॉडल (समीकरण आधारित)

हैरोड का विकास मॉडल: \(S_t = \alpha Y_t\), \(I_t = \beta[Y_t - Y_{t-1}]\), \(S_t = I_t\)। आर्थिक विकास के लिए स्थिरता शर्त है:
(a) \(\frac{\beta}{\beta-\alpha}>1\) (b) \(\frac{\alpha}{\beta-\alpha}>1\) (c) \(\frac{\beta}{\alpha}>1\) (d) \(\frac{\alpha}{\beta}>1\)

उत्तर: (a) \(\frac{\beta}{\beta-\alpha}>1\)

✅ संपूर्ण संकलन: Solow, Harrod-Domar, Cobb-Douglas, Romer, Lewis, Todaro के सभी आवश्यक संख्यात्मक एवं सैद्धांतिक प्रश्न।
💡 प्रत्येक प्रश्न का मूल पाठ, सभी विकल्प एवं चरणबद्ध हल LaTeX के साथ सुरक्षित है। UGC NET अर्थशास्त्र की तैयारी हेतु एकमात्र संदर्भ।

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